Python入门习题（90）——OpenJudge百练习题：股票买卖

题目描述

来源
OpenJudge网站 —— 百练习题集-第4121号习题

要求
总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB

描述
最近越来越多的人都投身股市，阿福也有点心动了。谨记着“股市有风险，入市需谨慎”，阿福决定先来研究一下简化版的股票买卖问题。

假设阿福已经准确预测出了某只股票在未来 N 天的价格，他希望买卖两次，使得获得的利润最高。为了计算简单起见，利润的计算方式为卖出的价格减去买入的价格。

同一天可以进行多次买卖。但是在第一次买入之后，必须要先卖出，然后才可以第二次买入。

现在，阿福想知道他最多可以获得多少利润。

输入
输入的第一行是一个整数 T (T <= 50) ，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N (1 <= N <= 100, 000) ，表示一共有 N 天。第二行是 N 个被空格分开的整数，表示每天该股票的价格。该股票每天的价格的绝对值均不会超过 1,000,000 。
输出
对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福能够获得的最大的利润。
样例输入
3
7
5 14 -2 4 9 3 17
6
6 8 7 4 1 -2
4
18 9 5 2
样例输出
28
2
0
提示
对于第一组样例，阿福可以第 1 次在第 1 天买入（价格为 5 ），然后在第 2 天卖出（价格为 14 ）。第 2 次在第 3 天买入（价格为 -2 ），然后在第 7 天卖出（价格为 17 ）。一共获得的利润是 (14 - 5) + (17 - (-2)) = 28
对于第二组样例，阿福可以第 1 次在第 1 天买入（价格为 6 ），然后在第 2 天卖出（价格为 8 ）。第 2 次仍然在第 2 天买入，然后在第 2 天卖出。一共获得的利润是 8 - 6 = 2
对于第三组样例，由于价格一直在下跌，阿福可以随便选择一天买入之后迅速卖出。获得的最大利润为 0

解题思路

1. 假设在第d天进行第2次的买入，有：最大利润 = “第1天到第d天之间进行一次买卖的最大利润” + “第d天买入之后卖出的最大利润”。令d依次取1, 2, …, N，求出第d天买入情形下的最大利润，这N个利润中的最大值就是最终结果。这里，第d天买入都是指第二次买入，下同。
2. 先求“第d天买入之后卖出的最大利润”。有：“第d天买入之后卖出的最大利润” = “第d天之后的最高价格” - 第d天的价格。
3. 如何求第d天之后的最高价格？“第d天之后的最高价格 ” = max(“第d天的价格”，“第d+1天之后的最高价格”)，max函数是取最大值。从右向左扫描，能够依次递推得到第N, N-1, …, 1天之后的最高价格。具体步骤是：
   （1）第N天之后的最高价格是第N天的价格。
   （2）第N-1天之后的最高价格=max(“第N-1天的价格”, “第N天之后的最高价格”)，
   （3）第N-2天之后的最高价格=max(“第N-2天的价格”，“第N-1天之后的最高价格”)，
   （4）…
   （5）第1天之后的最高价格=max(“第1天的价格”, “第2天之后的最高价格”)。
4. 如何求 “第1天到第d天之间进行一次买卖的最大利润” ？ “第1天到第d天之间进行一次买卖的最大利润” = max(MF[d]，“第1天到第d-1天之间进行一次买卖的最大利润”)。这里，MF[d]是第d天卖出产生的最大利润。
5. “第d天卖出的最高利润MF[d]" = “第d天的价格” - “第d天之前的最低价格”。
6. “第d天之前的最低价格” = min(第d天的价格，“第d-1天之前的最低价格”)。min函数是取最小值。从左向右扫描，能够依次递推得到第1, 2, …, N天之前的最低价格。做法与上面第3条有类似之处。
7. 有了第1, 2, …, N天之前的最低价格，我们能够计算得出第1天到第d天（d=1, 2, …, N）之间进行一次买卖的最大利润。
   （1）第1天到第1天之间进行一次买卖的最大利润是0。
   （2）第1天到第2天之间进行一次买卖的最大利润 = max(MF(2)，第1天到第1天之间进行一次买卖的最大利润)
   （3）第1天到第3天之间进行一次买卖的最大利润 = max(MF(3)，第1天到第2天之间进行一次买卖的最大利润)。
   （4）…
   （5）第1天到第N天之间进行一次买卖的最大利润 = max(MF(N)，第1天到第N-1天之间进行一次买卖的最大利润)。
8. 以上算法步骤，时间开销是O(N)级的。注意：题目指出，N最大是100, 000，O(N)级算法能通过，而O(N²)级的算法将出现超时。

参考答案

#ns存储有N天的股票价格，求出买卖两次的最大利润
def most_profit(ns):
    the_most = 0

    #求出左侧的最小价格
    left_least = [0] * len(ns)
    left_least[0] = ns[0]
    for i in range(1, len(ns)):
        if left_least[i-1] > ns[i]:
            left_least[i] = ns[i]
        else:
            left_least[i] = left_least[i-1]

    #求出一次买卖后左侧的最大利润
    left_most_profit = [0] * len(ns)
    left_most_profit[0] = 0
    #在第i天左侧的最大利润
    for i in range(1, len(ns)):
        profit_i = ns[i] - left_least[i]
        if profit_i > left_most_profit[i-1]:
            left_most_profit[i] = profit_i
        else:
            left_most_profit[i] = left_most_profit[i-1]

    #求出右侧的最高价格
    right_largest = [0] * len(ns)
    right_largest[-1] = ns[-1]
    for i in range(len(ns)-2, -1, -1):
        if right_largest[i+1] < ns[i]:
            right_largest[i] = ns[i]
        else:
            right_largest[i] = right_largest[i+1]

    for second_buy_day in range(len(ns)):
        #假设第二次买入发生在第second_buy_day+1天
        first = left_most_profit[second_buy_day]
        second = right_largest[second_buy_day] - ns[second_buy_day]
        current_most = first + second
        if current_most > the_most:
            the_most = current_most
    return the_most

T = int(input())
for t in range(T):
    N = int(input())
    ns = [int(s) for s in input().split()]
    print(most_profit(ns))

测试用例

1. 题目描述给出的测试用例包含3组测试数据。第1组测试用例覆盖了第一次买，第一次卖，第二次买，第二次卖，都不在同一天的情形。第2组测试用例覆盖了第二次买和第二次卖在同一天的情形。第3组测试用例覆盖了第一次买，第一次卖，第二次买，第二次卖都在同一天的情形。

2. T=1，N=1的边界情形。
   样例输入
   1
   1
   5
   样例输出
   0

3. 第一次买，第一次卖在同一天的情形。
   样例输入
   1
   3
   5 1 8
   样例输出
   7

小结

1. 本题要求算法的时间开销级别是O(N)级。因为N最大是100,000。
2. 算法的核心有两点。一是，从左到右地，求出第d天之前进行一次买卖的最大利润，d=1, 2, …, N。二是，从右到左地，求出第d天进行第二次买入之后卖出的最大利润。
3. 算法具有递推的特征。