电路分析 极简复习指导、公式推导、常用结论归纳 第三章 电阻电路的一般分析

使用说明
撰写本指导的目的是帮助相关专业的本科生在尽可能短的时间内完成对全书的复习。在阅读复习指导时，最好将课本同时打开，对照进行相关的推导和练习。本指导是依据西安交通大学的邱关源原著、罗先觉修订的《电路》第五版（高等教育出版社）完成的。
本指导的主要内容是简易的公式推导和结论总结，并删去了很少使用的知识点。对于书上未写清楚的推导过程，本指导会给予补充。如果有时间，会增加习题指导。
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第三章 电阻电路的一般分析

对于结构复杂的电路，我们可以通过图论的相关知识和通用的方法来处理，使得计算简化。

一、电路图论的基本概念
电路图由节点（结点，Node）和支路（分支，Branch）构成，并且没有孤立顶点。电路的元件连同所在电路抽象为支路，而节点是支路的连接处。一般取串联的元件及直接相连的导线作为一条支路。
路径：从图的一个节点出发，沿着若干条支路到达另一节点，中间走过的轨迹就叫路径。一条支路本身也算作路径。
连通图：如果图的任意两个节点之间都有至少一条路径连通，即无孤立节点，该图就称作连通图。
回路：如果路径的起点和终点重合，且不重复地经过起点和终点之间的节点，这样的路径称作回路。
树：包含连通图的全部节点但不包含任何回路的连通子图。
对图的任意一个树，因为树已经连通全部节点，当加入一条支路（连支，Link）之后，就形成一个回路。这是因为，如果记刚才所述的任意添加的一个连支连通的两个节点中的任意一个为起始节点，从起始节点出发，通过树的部分路径和新加入的路径都可以回到起始节点。
如果将图画在平面上时，各支路在节点以外都不交叉，这样的图就称作平面图。
对于二维的电路图，可以定义（内）网孔的概念：用来标识回路的闭合曲线不穿越任何支路，这样标记的区域叫作网孔（Mesh）。
用来标识回路的闭合曲线包围了整个电路，这样标记的区域叫作外网孔。书本所称的网孔一般都指内网孔。
已知（当结论记）：连支数=独立回路数，对一个具有 b 条节点和 n 条支路的电路，连支数。
网孔属于独立回路的一种。

二、支路电流法
所谓“支路电流法”实际上就是直接列写 KCL 和 KVL 方程。先选 (n-1) 个节点列写 KCL 方程，再选三条独立回路列写 KVL 方程，联立求解即可。

三、网孔电流法
如果电路图中存在类似如下的结构：电流若干条支路通过一个节点汇入（或流出）一条支路，那么这条支路的电流就能看作这些流入、流出的电路的代数和。以下图为例，设网孔电流，中间的支路的电流可以看作是的代数和。

即。这种方程实际上是KCL的变体。
网孔属于独立回路，对每个网孔列的 KVL 方程为独立方程（不能由其它列写的方程得到），就能构造出线性方程组求解。
以该图为例，对网孔 1 ，注意给出的网孔电流的参考方向，再结合，有。对网孔 2 ，同样也有。对这两个方程，将电源全部移到等号右侧，并写成规整的线性方程组的形式：

形如上述方程的以网孔电流为未知数的电路方程称为网孔电流方程。
记每个网孔的电阻之和为每个网孔的自阻，自阻总是正的。记两个网孔的公共支路的电阻之和为互阻的绝对值，符号由如下方式确定：如果在公共支路，网孔电流的参考方向相反，就取负号，否则取正号。
得出这样的列写方法的原因是：观察发现，对一个特定网孔列方程时，“公共电阻 × 正的网孔电流”（即电压、电流与参考方向相同）这部分会全部合并到“自阻 × 该网孔电流”这个单项式，再加上只属于某个网孔的“电阻 × 电流”项，就对应了自阻中的每个电阻再乘以相应的网孔电流。在原 KVL 方程中，列写到公共支路上的电阻时，如果网孔电流指定的参考方向相反，其中一个网孔电流的符号就会取负。当以网孔电流为公因子整理方程时，公共支路不同的网孔电流会分开到不同的单项式中。而“公共电阻 × 另一网孔电流”这部分会单独分出来与不属于正在列写的网孔的网孔电流写到一起，就对应了互阻。如果网孔电流的正向在公共支路相反，原 KVL 方程中这些“公共电阻 × 另一网孔电流”的部分的前面正好是负的；如果网孔电流的正向在公共支路相同，这些项就恰好是正的。
这样网孔电流的方程就列写完毕。
上述方法可以推广到对n个网孔列写网孔电流方程。这样的网孔电流方程的形式如下：

双下标相同的电阻如等是各个网孔的自阻；双下标不同的电阻是各个网孔的互阻，并带有符号。每条方程的右侧为所有电压源电压的代数和。因为它们是从原 KVL 方程的等号左侧移到等号右侧的，所以符号全部相反。当电压源的电压下降方向与网孔电流的方向相反时，才取正的电压。
这样的方程是非常规整的线性方程组，可以直接输入计算机处理。这个方程组的系数行列式（关于主对角线）对称。
如果出现了电流源和并联电阻，应该等效变换成电压源和串联电阻。

四、回路电流法
回路电流法的列写原理与网孔电流法完全相同，只是不一定再需要选网孔作回路，而是可以任意选择独立回路：

回路电流法是网孔电流法的推广。
如果回路含有受控电压源，将控制量用回路电流表示，再写到等号左侧，同样可以成为如上形式的方程。如果回路含有无伴电流源（一般已知电流源输出的电流），将电流源两端电压设为新的未知数，然后将电流源的电流写成若干网孔电流相加减的形式，就多出了一条方程。这样经过整理之后仍然类似上述形式，可以直接输入计算机求解。
选择回路时，如果可能，考虑用单独的回路包含无伴电流源，这样一个回路的电流就称为已知量，减少了一个未知数，少列一条方程。

五、结点电压法
在电路中选择一个节点（一般是多个元件共同连着的节点，也可以选择无伴电压源的负极）作参考节点，电势记为0V。节点的电压便是节点到参考点的电压。支路电压就是两个节点的电压差。直连0节点的支路，参考方向都指向0节点。
选择 (n-1) 个节点列关于支路电流的KCL，然后用Ohm定律表示各支路电流，整理成关于节点电压的线性方程组，并把令电流注入或流出该节点的电流源移到等号右侧，就列写完毕。以下图的电路为例：

对节点1、2、3列写KCL方程：，用VCR（电压电流关系）改写后变为：

整理后就变成：

又改写成：

并记各节点的自导，双下标不一致的则为互导。比如本例中。
自导总是正的，其值等于直接连接该节点的支路电导之和。互导总是负的，其绝对值为两个节点的支路电导。原因是：节点电压方程实际为 KCL 方程的变体，等号左边的每一项都是直接进入或流出某个节点的电流。所以对一个节点列方程时，凡是形如“该节点电压比直连该节点的电阻”的项全部被合并同类项处理了，正好对应自导中的全部电导。公共支路的电压为两端节点的电压差，也就是带有一个正号和一个负号。凡是负号都跟在其余节点的电压之前（将括号全部展开的情况下），正好对应改写以后该节点与直连的其余节点之间的电导前面的负号。
注意，原 KCL 的方程中，从节点输出（流出）的电流前全部带正号，方程右端统一取零，否则自导和互导的正负性会相反。当然，在日后列写节点电压方程时，直接依据“自导恒正，互导恒负”列写即可。无论参考方向如何，都不会影响计算结果的绝对值。
如果出现了电压源串联电路，用电源的等效变换处理成电流源并联电阻即可。如果遇到无伴电压源（电压一般已知），可以设无伴电压源所在的支路的电流为新的未知数，然后增加一条方程描述该电压源与节点电压的关系即可（相当于一个节点的电压已知），经过整理以后最终的线性方程组的形式仍然类似上述方程组。
如果遇到电流源与电阻串联的情况，只需忽略该电阻，直接将该电流源按照一般的电流源处理即可。因为列写原 KCL 方程时，这样的电阻并未出现（该电阻所在支路的电流一般已知，无需再用 VCR 表示）。
如果电路仅由线性电阻组成，一般这样的方程有唯一解（系数行列式不为零时）。少数情况可能有无数解或无解。