一个简单的例子说明stable marriage稳定婚姻匹配问题

问题描述非常简单：
有n位男士n位女士，每位男士对所有女士按照他喜欢的程度进行排名，同时，每位女士也对所有男士有一个喜爱程度排名，无并列。
比如我们现在有4位男士：m1，m2，m3，m4，和四位女士w1，w2，w3，w4（m的意思就是man男士，w的意思就是woman女士）。第一位男士对所有女士的喜爱排名为：’w3’,’w2’,’w1’,’w4’，即他最喜欢的是第三位女士w3，接着是第二位，第一位，最后是第四位女士w4。
我们列出每位男士对所有女士的喜爱程度排名如下：
m1：’w3’,’w2’,’w1’,’w4’
m2：’w2’,’w4’,’w1’,’w3’
m3：’w3’,’w1’,’w4’,’w2’
m4：’w1’,’w2’,’w3’,’w4’
可以看出来m1和m3都最喜欢第三位女士w3，其中m3最喜欢w3而最不喜欢w2，而m2恰恰相反，他最喜欢w2最不喜欢w3，果然是萝卜青菜各有所爱啊。
接下来列出每位女士对所有男士的喜爱程度排名如下：
w1：’m1’,’m3’,’m2’,’m4’
w2：’m3’,’m4’,’m2’,’m1’
w3：’m2’,’m3’,’m4’,’m1’
w4：’m4’,’m2’,’m1’,’m3’
可以看出来虽然m1和m3都最喜欢w3，但w3最喜欢的却是对她最不感兴趣的m2，唉，造化弄人啊！
接着我们用具体的步骤说明如何找到一个稳定婚姻匹配：
step1：
每位男士都向自己喜欢列表中最靠前的那位女士求婚，女士们接收到求婚后，在那些向自己求婚的男士中（当然可能只有一个）选择一个自己最喜欢的，与之订婚。
m1向w3求婚，m2向w2求婚，m3向w3求婚，m4向w1求婚。w3接收到了两位男士的求婚，m1和m3，经过比较，她选择了她更喜欢的m3，拒绝了m1。于是第一步的匹配结果如下：
m2—-w2（横线表示这两个人已经订婚）
m3—-w3
m4—-w1
m1 w4（表示这两个人还是free状态）
step2：
接着，所有还没有订婚（free）的男士，向自己所喜欢的女士列表中的下一位求婚。
则m1会向w2求婚，此时w2已经与m2订婚，w2会将m1和m2进行比较，发现自己更喜欢现在的未婚夫m2，于是她会拒绝m1的求婚，可怜的m1依旧单身。第二步匹配结果没有发生改变，和第一步相同。
step3：
依旧单身的m1向他喜欢列表中的下一位女士求婚，也就是w1，此时w1已经和m4订婚，她将m1与m4进行比较，发现自己更喜欢现在的追求者m1而不是她的未婚夫，于是她会抛弃m4，与m1订婚。第三步之后，匹配结果变成：
m1—-w1
m2—-w2
m3—-w3
m4 w4
step4：
被抛弃的m4向他喜欢列表中的下一位女士求婚，也就是w2，而此时w2已经与m2订婚，她经过比较发现，她更喜欢现在的追求者m4，于是w2会抛弃m2，重新与与m4订婚，第四步之后匹配结果如下：
m1—-w1
m3—-w3
m4—-w2
m2 w4
step5：
刚刚被抛弃的m2，向他喜欢列表中的下一位女士求婚，也就是w4，而w4此时还是单身（free），那么顺利成章他们两个订婚了，所有的人都有了自己的归宿。最终的结果为：
m1—-w1
m2—-w4
m3—-w3
m4—-w2
关于稳定婚姻匹配的一些证明之类的内容我这里都没有讲到，只是通过一个实际的例子说明算法的具体步骤是怎么样的，具体的代码我用Python实现贴在这里：

manprefers = {'m1':['w3','w2','w1','w4'],
'm2':['w2','w4','w1','w3'],
'm3':['w3','w1','w4','w2'],
'm4':['w1','w2','w3','w4']}

womanprefers = {'w1':['m1','m3','m2','m4'],
'w2':['m3','m4','m2','m1'],
'w3':['m2','m3','m4','m1'],
'w4':['m4','m2','m1','m3']}

men = sorted(manprefers.keys())
women = sorted(womanprefers.keys())

def match():
    manfree = men[:] # man who is free (not engaged)
    engaged = {} # map
    while manfree: # still some man is free
        man = manfree.pop(0)
        manlist = manprefers[man]
        woman = manlist.pop(0)
        fiance = engaged.get(woman)
        if not fiance:
            # the woman is free
            engaged[woman] = man
            print("%s and %s" % (man,woman))
        else:
            womanlist = womanprefers[woman]
            if womanlist.index(fiance) > womanlist.index(man):
                # the woman is not free but she prefers this man rather than her old fiance
                engaged[woman] = man
                print("%s dumped %s for %s" % (woman,fiance,man))
                if manprefers[fiance]:
                    manfree.append(fiance)
            else:
                # she is faithful to her old fiance
                if manlist:
                    manfree.append(man)
    return engaged

engaged = match()
print engaged

最后，再贴上一段互动百科中给出的这个过程描述：

第一天上午，所有的男人都向自己最爱的女人求婚，下午，每个女人看看自己有没有收到，收到了多少人的求婚，如果只收到一个男人的求婚，那么就和他订婚。 如果收到多于一个男人的求婚，那么就和其中她最爱的那个男人订婚，同时把其他男人都拒掉。如果一个求婚都没有，不要着急，最后总会有的。晚上，检查一遍，如果所有女人都订婚了，万事大吉，明天举行集体婚礼，但如果还有女人没有订婚，那么事情还没有完，第二天还得重复，第二天上午，所有还没订婚的男人向自己次爱的女人求婚(因为昨天已经被他们的最爱拒了)。下午，每个女人再看一遍自己收到订婚的情况，如果她已经订婚了，但是又有一个她更爱的男人来向她求婚，那就把原来那个拒掉，再和这个更爱的男人订婚；如果还没订婚，那就和第一天的下午的处理一样。晚上再检查一遍，如果还是有人没有订婚，那第三天再重复，第三天上午，所有没有订婚的男人，包括第一天订了第二天又被踹出来的，再向还没有拒过他的女人中他最爱的那个求婚，如此周而复始，直到最后大家都订了婚，便一起结婚。

这个过程数学上可以证明：
第一，这个过程会中止，也就是说，总有大家都订了婚的一天，不可能无限循环。
第二，中止后所有的婚姻是稳定婚姻。 所谓不稳婚姻是说，比如说有两对夫妇M1, F1和M2, F2, M1的老婆是F1, 但他更爱F2;而F2的老公虽说是M2. 但她更爱M1, 这样的婚姻就是不稳婚姻,M1和F2理应结合, 他们现在各自的婚姻都是错误. 我们能证明的是, 通过上面那个求婚过程, 所有的婚姻都是稳定的, 没有人犯错误。
第三, 比较引人注目的是， 这个过程是male-optimal（对男性有利）的，男性能够获得尽可能好的伴侣，比如说最后有二十个女人拒绝了他，他仍然能够得到剩下的八十个女人中他最爱的那一个。
第四， 更有甚者，这个过程是female-pessimal（对女性不利）的, 女人总是在可能的情况下被最不喜欢的人追上。这一点没有那么直观的理解，勉强要解释的话， 可以这么看: 虽说女人每换一次订婚对象，都往上升一层，但起点可能很低，虽说在一步步接近她最爱的目标，但最后往往达不到。比如说还差三十名就达到她最爱的人了，但这时Game Over， 所有的人都已订了婚，这样她也只能死了心了。 还有三十个她更爱的人还没向她求过婚，可是她也无可奈何了。

P.S. 互动百科中有算法的C++实现代码。