基于实数的椭圆曲线群介绍

群的定义

基于实数的椭圆曲线的群定义

椭圆曲线是一系列满足如下方程的点：

并且满足：

该方程称为椭圆曲线的 Weierstrass 方程

在椭圆曲线的基础上，可以定义一个加法群：

*所有椭圆曲线上的点，就是这个群里的元素

*单位元就是 0

*点 P 的逆元是点 P 相对 x 坐标的对称点

*加法定义如下：在椭圆曲线上，和一条直线相交的 3 个点 P,Q 以及 R，三点相加满足零知识证明 - 椭圆曲线基础。也就说，椭圆曲线上的两点相加的结果，还在椭圆曲线上。

结合群的定义，可以证明定义的这个加法群，就是阿贝尔群。

具体来看就是：

a.封闭性：因为椭圆曲线上的点相加，还是椭圆曲线上的点。

b.结合律：

c.单位元 : 单位元是 0

d.逆元 : 一个椭圆曲线上的点 P 的逆元，是相对 x 坐标的对称点

e. 交换律：

附：椭圆曲线运算规则


椭圆群构造


加法运算：



实例：