常用的十种算法

十、常用的10种排序算法

1、二分查找（非递归）

概念：二分查找算法只适用于从有序序列中进行查找，比如（数字和字母等），将数列排序后在进行查找。二分查找运行的时间复杂度为O(log2N)

代码实现

  public static int binarySearch(int[] arr,int target){
        int left=0;
        int right=arr.length-1;
        while (left<=right){
            int mid=(left+right)/2;
            if(arr[mid]==target){
                return mid;
            }else if(arr[mid]<target){
                left=mid+1;
            }else if (arr[mid]>target){
                right=mid-1;
            }
        }
        return -1;
    }

2、分治算法

概念：分治算法的字面解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分解成两个或更多的相同或相似的子问题，在把子问题分解成更小的子问题，直到最小的子问题可以直接求解。如快速排序，归并排序、汉诺塔

算法步骤：

分解：将原问题分解成若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题

解决：若子问题规模较小，则可以直接求解，否则递归的解各个子问题

合并：将各个子问题合并为原问题的解

代码实现,以汉诺塔为例

    public static void hanoitower(int num ,char a,char b,char c){
        //只有一个盘
        if(num==1){
            System.out.println("第1个盘从"+a+"->"+c);
        }else {
            //如果n>=2，我们总可以把整体看做两个盘，：最下边的盘A和除下边的所有盘B
            //1、先把最上面的所有盘A->B,移动过程会使用到C
            hanoitower(num-1,a,c,b);
            //2、把最下边的盘A->C
            System.out.println("第"+num+"个盘从"+a+"->"+c);
            //把B塔中的所有盘B->C,移动过程中使用到a塔
            hanoitower(num-1,b,a,c);
        }
    }

3、动态规划

概念：动态规划是一类题目的总称，并不是某个固定的算法，其核心思想和分治算法相似，都是将一个大问题分解成小问题，通过对小问题求解从而得到整体问题的求解。与分治算法不同的是。分治算法分解出的子问题是互不相关的，动态规划分解出的子问题是互相关联的。

动态规划的应用-背包问题

背包问题是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值的和重量的物品，如何选择物品放入背包使得包中的物品价值最大。

背包问题又可分为01背包和完全背包（完全背包指的是每种物品都可以有无限键使用），该案例使用的是01背包

图解

物品	数量	价格
吉他	1	1500
音响	4	3000
电脑	3	2000

物品	0磅	1磅	2磅	3磅	4磅
	0	0	0	0	0
吉他	0	1500	1500	1500	1500
音响	0	1500	1500	1500	3000
电脑	0	1500	1500	2000	35000

思路分析

算法的主要思想是利用动态规划来解决，每次遍历到第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将物品放入到背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量,C为背包的容量，v[i] [j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大值。

• v[i] [0]=v[0] [j];表示填入的第一行和第一列均为0

• 当w[i]>j时：v[i] [j]=v[i-1] [j]//当准备加入的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略。

• 当j>w[i]时，v[i] [j]=max{v[i-1] [j],v[i]+v[i-1] [j-w[i]] }//当准备加入的新增商品的容量小于等于当前背包的容量。

v[i-1] [j]:上个单元格装入的最大值

v[i]:表示当前商品的价值

v[i-1] [j-w[i]]:装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值

代码实现

public class KnapackProblem {
    public static void main(String[] args){
    int[] w={1,4,3};//背包的重量
        int[] val={1500,3000,2000};//物品的价值
        int m=4;//背包容量
        int n=val.length;//物品的个数
        //创建二维数组;v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大值
        int[][] v=new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定了一个二维数组path
        int[][] path=new int[n+1][m+1];
        //初始化第一行和第一列，在本程序中，可以不去处理，默认为0
        for(int i=0;i<v.length;i++){
            v[i][0]=0;//将第一列设置为0
        }
        for (int i=0;i<v[0].length;i++){
            v[0][i]=0;//第一行设置为0
        }
        //根据公式进行动态规划处理
        for(int i=1;i<v.length;i++){//不处理第一行，i是从1开始的
            for(int j=1;j<v[0].length;j++){
                //公式
                if(w[i-1]>j){//因为i是从1开始的，所以需要从i-1开始
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                }else {
//                    v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //为了得到具体的放置，引入了二维数组path
                    if(v[i-1][j]<val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
                        path[i][j]=1;
                        v[i][j]=val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
                    }else {
                        v[i][j]=v[i-1][j];
                    }
                }
            }

        }
        //输出显示
        int i=path.length-1;//行的最大值
        int j=path[0].length-1;//列的最大值
        while (i>0&&j>0){
            if(path[i][j]==1){
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);
                j-=w[i-1];
            }
            i--;
        }


    }
}

4、KMP算法

kmp算法是暴力匹配算法的优化

4.1暴力匹配算法

假设用字符串str2匹配字符创str1

• 如果当前字符串匹配成功（即str1[i]==str2[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符
• 如果不匹配，即str1[i]！=str2[j]，令i=i-(j-1),j=0。相当于每次匹配失败时，i回溯，j被置为0
• 采用暴力匹配法会有大量的回溯，每次只移动一位，若不匹配，移动到下一位接着判断，这样的算法浪费大量的时间

代码实现

  public static int violenceMatch(String arr1,String arr2){
        char[] s1=arr1.toCharArray();
        char[] s2=arr2.toCharArray();

        int len1=s1.length;
        int len2=s2.length;

        int i=0;
        int j=0;
        while (i<len1&&j<len2){
            if (s1[i]==s2[j]){
                i++;
                j++;
            }else {//若果没有匹配成功
                i=i-(j-1);
                j=0;
            }
        }
        //判断是否匹配成功
        if(j==len2){
            return i-j;
        }else {
            return -1;
        }

    }

4.2KMP匹配算法

概念：KMP算法利用next数组，next数组中保存了模式串中前后最长的公共子序列的长度。每次回溯时。通过next数组找到找到最大后移位置。

kmp算法的核心是跳转表next的实现

 public static int[] kmpNext(String dest){
        //创建一个next数组保存部分匹配值
        int[] next =new int[dest.length()];
        next[0]=0;//如果字符串长度为1部分匹配值就是0
        for(int i=1,j=0;i<dest.length();i++){
            //当dest.chatAt(i)!=des.cahrAt(j),我们需要从next[j-1]获取新的j
            //直到我们发现有dest.chatAt(i)==des.cahrAt(j)成立才退出
            //kmp算法的核心核心点
            while (j>0&&dest.charAt(i)!=dest.charAt(j)){
                    j=next[j-1];
            }
            //当dest.charAt(i)==dest.charAt(j)满足时，部分匹配值+1
            if(dest.charAt(i)==dest.charAt(j)){
                j++;
            }
            next[i]=j;
        }
        return next;
    }

Kmp查找算法代码实现

 public static int kmpSerach(String str1,String str2,int[] next){
        //遍历
        for(int i=0,j=0;i<str1.length();i++){
            //需要处理str1.charAt(i)!= str2.charAt(j),去调整j的大小
            while (j>0 && str1.charAt(i)!=str2.charAt(j)){
                j=next[j-1];
            }
            if(str1.charAt(i)==str2.charAt(j)){
                j++;
            }
            if(j==str2.length()){//
                return i-j+1;
            }
        }
        return -1;
    }

5、贪心算法

概念：贪心算法（贪婪算法）在对问题求解时，在每一步中都选择最好或者最优（即最有利）的选择，从而希望能够导致的结果是最好的或者最优的。

note：贪心算法所得到的结果不一定是最优的结果（有时候会是最优解），但都是对近似（接近）最优解的结果。

案列

集合覆盖问题，假设存在以下付费的广播电台，让广播台的信号可以覆盖所有地区，如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接受到信号。

广播台	覆盖地区
K1	北京，上海，天津
K2	广州，北京，深圳
K3	成都，上海，杭州
K4	上海，天津
K5	杭州，大连

算法描述：

• 遍历所有的广播电视台，找到一个覆盖了最多未覆盖地区的电台（此电台可能包含一些已覆盖的地区）
• 将这个电台加入到一个集合中，并把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉
• 重复第一步直到覆盖所有的地区

代码实现

public class GreedAlgorithm {
    public static void main(String[] args){
        //创建广播电视台，放入到Map
        HashMap<String, HashSet<String>> broadcasts=new HashMap<String, HashSet<String>>();
        //将各个电视台放入到broadcastszh
        HashSet<String> hashSet1=new HashSet<>();
        hashSet1.add("北京");
        hashSet1.add("上海");
        hashSet1.add("天津");
        HashSet<String> hashSet2=new HashSet<>();
        hashSet2.add("广州");
        hashSet2.add("北京");
        hashSet2.add("深圳");
        HashSet<String> hashSet3=new HashSet<>();
        hashSet3.add("成都");
        hashSet3.add("上海");
        hashSet3.add("杭州");
        HashSet<String> hashSet4=new HashSet<>();
        hashSet4.add("上海");
        hashSet4.add("天津");
        HashSet<String> hashSet5=new HashSet<>();
        hashSet5.add("杭州");
        hashSet5.add("大连");
        //加入到map
        broadcasts.put("k1",hashSet1);
        broadcasts.put("k2",hashSet2);
        broadcasts.put("k3",hashSet3);
        broadcasts.put("k4",hashSet4);
        broadcasts.put("k5",hashSet5);
        //创建一个allAreas，存放所有的地区
        HashSet<String> allAreas=new HashSet<>();
        allAreas.add("北京");
        allAreas.add("上海");
        allAreas.add("天津");
        allAreas.add("广州");
        allAreas.add("深圳");
        allAreas.add("成都");
        allAreas.add("杭州");
        allAreas.add("大连");

        //创建ArrayList，存放选择电台的集合
        ArrayList<String> selects=new ArrayList<>();
        //定义一个临时的集合，在遍历过程中存放电台覆盖的地区和还没有覆盖地区的交集
        HashSet<String> tempSet=new HashSet<String>();
        //定义maxKey，保存在一次遍历过程中能够覆盖最大的未覆盖地区的电台key
        //如果maxKey，不为null，则会加入到selects
        String maxKey =null;
        while (allAreas.size()!=0){
            //每进行一次循环，
            maxKey=null;
            //遍历所有的broadcast，找出对应的key
            for (String key:broadcasts.keySet()){
                //没进行一次for
                tempSet.clear();
                //当前这key能够覆盖的地区
                HashSet<String> areas=broadcasts.get(key);
                tempSet.addAll(areas);
                //求出tempSet和allAreas的交集，交集会付给tempSet
                tempSet.retainAll(allAreas);
                //如果当前这个集合包含的未覆盖的地区数量，比maxKey指向的地区还多，就需要重置maxKey
                if(tempSet.size()>0&&(maxKey==null||tempSet.size()>broadcasts.get(maxKey).size())){
                    maxKey=key;

                }

            }
            //maxKey!=null,就应该将maxKey加入selects
            if(maxKey!=null){
                selects.add(maxKey);
                //将maxKey的指向广播电台的覆盖地区。从allAreas去掉
                allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
            }
        }
        System.out.println(selects);
    }
}

6.普利姆算法

概念

普利姆算法本质上是求最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree）MST,也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含的所有n个顶点的连通子图。

最小生成树：给定一个带权的无向连通图，选取一个生成树，使树上所有边上权的总和为最小

无向图

最小生成树

• N个顶点，一定有N-1条边
• 包含全部顶点
• N-1条边都在图中

算法描述

• 设G=（V,E）是连通网，T=（U，D）是最小生成树，V,U是顶点的集合，E,D是边的集合
• 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合v中取出顶点u放入集合U中，并标记顶点visited[u]=1
• 若集合U中的顶点ui与集合V-U中的顶点vi存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入到集合D中，并标记visited[vj]=1
• 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

案列（修路问题）

有7个村庄（A,B,C,D,E,F,G）,现在需要修路把7个村庄连通，使得修路的总里程最短

代码实现

  public void prime(Mgraph mgraph,int v){
        //标记被访问结点的数组
        int visited[]=new int[mgraph.vertexs];
        int minWeight=10000;//将两节点间的权重设置为较大的值
        int h1=-1;
       int h2=-1;
       int total=0;
        visited[v]=1;//将起始结点标记被访问
        for (int k=1;k<mgraph.vertexs;k++){//N个顶点的最小生成树含有(N-1)条边
            //已经被访问过的结点的循环
            for (int i=0;i<mgraph.vertexs;i++){
                //与访问过的结点；邻近结点
                for (int j=0;j<mgraph.vertexs;j++){
                    if (visited[i]==1&&visited[j]==0&&mgraph.weight[i][j]<minWeight){
                        minWeight=mgraph.weight[i][j];
                        h1=i;
                        h2=j;

                    }
                }
            }
            total+=minWeight;
            System.out.println("边<"+mgraph.data[h1]+","+mgraph.data[h2]+">权值"+minWeight);

            //将当前这个结点标记为已访问
            visited[h2]=1;
            minWeight=10000;
        }
        System.out.printf("总路程数为"+total);
    }

7、克鲁斯卡尔算法

定义：克鲁斯卡尔（Kruskal）算法是用来求加权连通图的最小生成树的算法，它是按照权值从小到大的选择选择（n-1）条边并且不构成回路。

案列（公交车路线）

描述：对公交车站点（A、B、C、D、E、F、G）进行连通，并且使得修建公路的总里程数最小。

图解




代码实现

 public void krusal() {
        int index = 0;//表示最后结果数组的索引
        int[] ends = new int[edgeNum];//用于保存”已有最小生成树“中的每个顶点在最小生成树中的终点
        //创建结果数组，保存最小生成树
        Edata[] rets=new Edata[edgeNum];
        //获取图中的所有边的集合，一共有12个边
        Edata[] edges=getEdges();
        System.out.println("图的边的集合="+Arrays.toString(edges)+"共"+edges.length);//12
        //按照边的权值进行大小排序
        sortEdges(edges);
        //遍历edges数组，将边添加到最小生成树中时，判断准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rests，否则不能加入
        for (int i=0;i<edgeNum;i++){
            //获取到第i条边的第一个顶点
            int p1=getPsiton(edges[i].start);
            //获取到第i条边的第2个顶点
            int p2=getPsiton(edges[i].end);
            //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
            int m=getEnd(ends,p1);
            //获取p2这个顶点在已有最小生成树的终点
            int n=getEnd(ends,p2);
            //是否构成回路
            if (m!=n){
                ends[m]=n;
                rets[index++]=edges[i];//有一条边加入到rests数组中
            }
        }
        System.out.println("最小生成树为="+Arrays.toString(rets));
    }

8、迪杰斯特拉算法

概念：迪杰斯特拉算法是典型的最短路径算法，用于计算一个结点到其它结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展（广度优先搜索的思想），直到扩展到终点为止。

算法分析

设置出发顶点为v，顶点集合V（v1,v2,vi…）,v到V中顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…},Dis集合记录着v到图中各个顶点的距离（到自身可以看做是0，v到vi的距离对应为di）

• 从Dis中选择最小的dis并移除Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi,此时的v到vi为最短路径
• 更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留较小的一个（同时也应该更新顶点的前驱结点为vi，表明是通过vi到达的）
• 重复执行两步步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束。

案例（最短路径）

邮差送邮件,从G点开始，分别把邮件送到A、B、C、D、E、F、G六个地点，计算G点到各个地点的最短距离。

代码实现

9、弗洛伊德算法

概念：和迪杰斯特拉一样，弗洛伊德算法也是求给定加权图中顶点间最短路径的算法。但是迪杰斯特拉算法是通过选定被访问的结点，求出从出发访问结点到其它顶点的最短路径。而弗洛伊德算法中的每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点都看做被访问的顶点，求出每一个顶点到其它顶点的最短路径。

算法分析

• 设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik,顶点vk到顶点vj的最短路径为Lkj，顶点vi到顶点vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为min((Lik+Lki),Lij),vk的取值为图中的所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径

代码实现

   public void floyd(){
        int len=0;//变量保存距离
        //对中间顶点遍历,就是中间顶点的下标
        for (int k=0;k<dis.length;k++){
            for (int i=0;i<dis.length;i++){
                for (int j=0;j<dis.length;j++){
                    //从i顶点出发，经过k顶点，到达j顶点的距离
                    len=dis[i][k]+dis[k][j];
                    if (len<dis[i][j]){
                        dis[i][j]=len;//更新距离
                        pre[i][j]=pre[k][j];//更新前驱结点
                    }
                }
            }

        }
    }

10、马踏棋盘算法

案列（网上的图解）

采用回溯的方法进行的，首先确定一个点的所有可以走的点，然后选择一个点（该点的下一步可走的点的数量最少），一直进行回溯，直到走完棋盘上的全部带点。

按照马走“日”字的规则进行移动，要求每个方格只进行一次，走遍棋盘上的全部64个方格

代码实现

 public static void traversalChessboard(int[][] chessboard,int row,int column,int step){
        chessboard[row][column]=step;
        visited[row*X+column]=true;//标记该位置已被访问
        //获取当前位置可以走的下一位置的集合
        ArrayList<Point> ps=next(new Point(column,row));
        sort(ps);
        while (!ps.isEmpty()){
            Point p=ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
            //判断该点是否被访问过
            if (!visited[p.y*X+p.x]){//说明还没有被访问过
                traversalChessboard(chessboard,p.y,p.x,step+1);
            }
        }
        //判断马儿是否完成了任务，使用step和应该走的步数比较
        //如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将棋盘置位0
        //1、棋盘到目前的位置，仍然没有走完
        //2、棋盘处于一个回溯过程
        if(step<X*Y&&!finished){
            chessboard[row][column] = 0;
            visited[row*X+column]=false;
        }else {
            finished=true;
        }
    }