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ECC加密算法入门介绍


作者  ： ZMWorm[CCG]
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主页  ： Http://ZMWorm.Yeah.Net/


前言

   同RSA（Ron Rivest，Adi Shamir，Len Adleman三位天才的名字）一样，ECC（Elliptic Curves Cryptography，椭圆曲线密码编码学）也属于公开密钥算法。目前，国内详细介绍ECC的公开文献并不多（反正我没有找到）。有一些简介，也是泛泛而谈，看完后依然理解不了ECC的实质（可能我理解力太差）。前些天我从国外网站找到些材料，看完后对ECC似乎懵懂了。于是我想把我对ECC的认识整理一下，与大家分享。当然ECC博大精深，我的认识还很肤浅，文章中错误一定不少，欢迎各路高手批评指正，小弟我洗耳恭听，并及时改正。文章将采用连载的方式，我写好一点就贴出来一点。本文主要侧重理论，代码实现暂不涉及。这就要求你要有一点数学功底。最好你能理解RSA算法，对公开密钥算法有一个了解。《近世代数基础》《初等数论》之类的书，最好您先翻一下，这对您理解本文是有帮助的。别怕，我尽量会把语言通俗些，希望本文能成为学习ECC的敲门砖。

一、从平行线谈起。

   平行线，永不相交。没有人怀疑把：）不过到了近代这个结论遭到了质疑。平行线会不会在很远很远的地方相交了？事实上没有人见到过。所以“平行线，永不相交”只是假设（大家想想初中学习的平行公理，是没有证明的）。既然可以假设平行线永不相交，也可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞（请大家闭上眼睛，想象一下那个无穷远点P∞，P∞是不是很虚幻，其实与其说数学锻炼人的抽象能力，还不如说是锻炼人的想象力）。给个图帮助理解一下：

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   直线上出现P∞点，所带来的好处是所有的直线都相交了，且只有一个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。

   以下是无穷远点的几个性质。

▲直线L上的无穷远点只能有一个。
（从定义可直接得出）
▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。
（从定义可直接得出）
▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。
（否则L1和L2有公共的无穷远点P ，则L1和L2有两个交点A、P，故假设错误。）
▲平面上全体无穷远点构成一条 无穷远直线。（自己想象一下这条直线吧）
▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成 射影平面。




二、射影平面坐标系

   射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系（就是我们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系）的扩展。我们知道普通平面直角坐标系没有为无穷远点设计坐标，不能表示无穷远点。为了表示无穷远点，产生了射影平面坐标系，当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点（数学也是“向下兼容”的）。

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   我们对普通平面直角坐标系上的点A的坐标（x,y）做如下改造：
   令x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；则A点可以表示为（X:Y:Z）。
   变成了有三个参量的坐标点，这就对平面上的点建立了一个新的坐标体系。

    例2.1：求点（1,2）在新的坐标体系下的坐标。
   解：∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z ∴坐标为（Z:2Z:Z），Z≠0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐标，都是（1,2）在新的坐标体系下的坐标。

   我们也可以得到直线的方程aX+bY+cZ=0（想想为什么？提示：普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0）。新的坐标体系能够表示无穷远点么？那要让我们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识，我们知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么，如何求两条直线的交点坐标？这是初中的知识，就是将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是：
aX+bY+c ₁Z =0； aX+bY+c ₂Z =0  (c ₁≠c ₂)；
（为什么？提示：可以从斜率考虑，因为平行线斜率相同）；

   将二方程联立，求解。有c ₂Z= c ₁Z= -（aX+bY），∵c ₁≠c ₂ ∴Z=0  ∴aX+bY=0；
所以无穷远点就是这种形式（X：Y：0）表示。注意，平常点Z≠0，无穷远点Z=0，因此无穷远直线对应的方程是Z=0。

    例2.2：求平行线L1：X+2Y+3Z=0 与L2：X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。
   解：因为L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0；所以坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0的坐标，都表示这个无穷远点。

   看来这个新的坐标体系能够表示射影平面上所有的点，我们就把这个能够表示射影平面上所有点的坐标体系叫做 射影平面坐标系。


练习：
      1、求点A(2,4) 在射影平面坐标系下的坐标。
      2、求射影平面坐标系下点(4.5:3:0.5)，在普通平面直角坐标系下的坐标。
      3、求直线X+Y+Z=0上无穷远点的坐标。
      4、判断：直线aX+bY+cZ=0上的无穷远点 和 无穷远直线与直线aX+bY=0的交点，是否是同一个点？


三、椭圆曲线

   上一节，我们建立了射影平面坐标系，这一节我们将在这个坐标系下建立椭圆曲线方程。因为我们知道，坐标中的曲线是可以用方程来表示的（比如：单位圆方程是x ²+y ²=1）。椭圆曲线是曲线，自然椭圆曲线也有方程。

   椭圆曲线的定义：
    一条椭圆曲线是在射影平面上满足方程
   Y²Z+a₁XYZ+a₃YZ²=X³+a₂X²Z+a₄XZ²+a₆Z³   ----------------[3-1]
    的所有点的集合，且曲线上的每个点都是非奇异（或光滑）的。

定义详解：

   ▲ Y ²Z+a ₁XYZ+a ₃YZ ² = X ³+a ₂X ²Z+a ₄XZ ²+a ₆Z ³是Weierstrass方程（维尔斯特拉斯，Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897），是一个齐次方程。

   ▲ 椭圆曲线的形状，并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程（计算椭圆周长的方程，我没有见过，而对椭圆线积分（设密度为1）是求不出来的。谁知道这个方程，请告诉我呀^_^），故得名。

   我们来看看椭圆曲线是什么样的。

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   ▲ 所谓“非奇异”或“光滑”的，在数学中是指曲线上任意一点的偏导数F _x(x,y,z)，F _y(x,y,z)，F _z(x,y,z)不能同时为0。如果你没有学过高等数学，可以这样理解这个词，即满足方程的任意一点都存在切线。

   下面两个方程都不是椭圆曲线，尽管他们是方程[3-1]的形式。

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   因为他们在（0:0:1）点处（即原点）没有切线。

   ▲椭圆曲线上有一个无穷远点O∞（0:1:0），因为这个点满足方程[3-1]。

   知道了椭圆曲线上的无穷远点。我们就可以把椭圆曲线放到普通平面直角坐标系上了。因为普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。我们在普通平面直角坐标系上，求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程，再加上无穷远点O∞（0:1:0），不就构成椭圆曲线了么？

   我们设x=X/Z ，y=Y/Z代入方程[3-1]得到：
    y²+a₁xy+a₃y = x³+a₂x²+a₄x+a₆ -------------------------[3-2]

   也就是说满足方程[3-2]的光滑曲线加上一个无穷远点O∞，组成了椭圆曲线。为了方便运算，表述，以及理解，今后论述椭圆曲线将主要使用[3-2]的形式。

   本节的最后，我们谈一下求椭圆曲线一点的切线斜率问题。
   由椭圆曲线的定义可以知道，椭圆曲线是光滑的，所以椭圆曲线上的平常点都有切线。而切线最重要的一个参数就是斜率k。

    例3.1：求椭圆曲线方程y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆上，平常点A(x,y)的切线的斜率k。
   解：令F(x,y)= y²+a₁xy+a₃y-x³-a₂x²-a₄x-a₆
   求偏导数
   F_x(x,y)= a₁y-3x²-2a₂x-a₄
   F_y(x,y)= 2y+a₁x +a₃
   则导数为：f'(x)=- F_x(x,y)/ F_y(x,y)=-( a₁y-3x²-2a₂x-a₄)/(2y+a₁x +a₃)
                   = (3x²+2a₂x+a₄-a₁y) /(2y+a₁x +a₃)
   所以k=(3x²+2a₂x+a₄-a₁y) /(2y+a₁x +a₃)  ------------------------[3-3]

   看不懂解题过程没有关系，记住结论[3-3]就可以了。


练习：
      1、将给出图例的椭圆曲线方程Y²Z=X³-XZ² 和Y²Z=X³+XZ²+Z³转换成普通平面直角坐标系上的方程。


四、椭圆曲线上的加法

   上一节，我们已经看到了椭圆曲线的图象，但点与点之间好象没有什么联系。我们能不能建立一个类似于在实数轴上加法的运算法则呢？天才的数学家找到了这一运算法则

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   自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念，使得代数运算达到了高度的统一。比如数学家总结了普通加法的主要特征，提出了加群（也叫交换群，或Abel（阿贝尔）群），在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法没有什么区别。这也许就是数学抽象把：）。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。
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    运算法则：任意取椭圆曲线上两点P、Q （若P、Q两点重合，则做P点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点R’，过R’做y轴的平行线交于R。我们规定P+Q=R。（如图）

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法则详解：
   ▲这里的+不是实数中普通的加法，而是从普通加法中抽象出来的加法，他具备普通加法的一些性质，但具体的运算法则显然与普通加法不同。

   ▲根据这个法则，可以知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上一点P的连线交于P’，过P’作y轴的平行线交于P，所以有 无穷远点 O∞+ P = P 。这样，无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当（0+2=2），我们把无穷远点 O∞ 称为 零元。同时我们把P’称为P的 负元（简称，负P；记作，-P）。（参见下图）

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   ▲根据这个法则，可以得到如下结论 ：如果椭圆曲线上的三个点A、B、C，处于同一条直线上，那么他们的和等于零元，即A+B+C= O∞

   ▲k个相同的点P相加，我们记作kP。如下图：3P = P+P+P = R+P = S。

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   下面，我们利用P、Q点的坐标(x ₁,y ₁)，(x ₂,y ₂)，求出R=P+Q的坐标(x ₄,y ₄)。

   例4.1：求椭圆曲线方程y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆上，平常点P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)的和R(x₄,y₄)的坐标。
   解：（1）先求点-R(x₃,y₃)
   因为P,Q,-R三点共线，故设共线方程为y=kx+b,其中
   若P≠Q(P,Q两点不重合) 则
       直线斜率k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)
   若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线，故由例3.1可知：
       k=(3x₂+2a₂x+a₄ -a₁y) /(2y+a₁x+a₃)

   因此P,Q,-R三点的坐标值就是方程组：
       y²+a₁xy+a₃y=x³+a₂x²+a₄x+a₆    -----------------[1]
       y=(kx+b)                     -----------------[2]
   的解。

   将[2]，代入[1] 有
      (kx+b)²+a₁x(kx+b)+a₃(kx+b) =x³+a₂x²+a₄x+a₆    --------[3]
   对[3]化为一般方程，根据三次方程根与系数关系（当三次项系数为1时；-x₁x₂x₃ 等于常数项系数， x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁等于一次项系数，-(x₁+x₂+x₃)等于二次项系数。）
   所以-(x₁+x₂+x₃)=a₂-ka₁-k²
   x₃=k²+ka₁+a₂+x₁+x₂;---------------------求出点-R的横坐标
   因为k=(y₁-y₃)/(x₁-x₃) 故
   y₃=y₁-k(x₁-x₃);-------------------------------求出点-R的纵坐标

  （2）利用-R求R
   显然有 x₄=x₃= k²+ka₁+a₂+x₁+x₂; ------------求出点R的横坐标
   而y₃ y₄ 为 x=x₄时 方程y²+a₁xy+a₃y=x₃+a₂x₂+a₄x+a₆的解
   化为一般方程y²+(a₁x+a₃)y-(x³+a₂x²+a₄x+a₆)=0 , 根据二次方程根与系数关系得：
       -(a₁x+a₃)=y₃+y₄
   故y₄=-y₃-(a₁x+a₃)=k(x₁-x₄)-y₁-(a₁x₄+a₃); ---------------求出点R的纵坐标
   即：
       x₄=k²+ka₁+a₂+x₁+x₂;
       y₄=k(x₁-x₄)-y₁-a₁x₄-a₃;

   本节的最后，提醒大家注意一点，以前提供的图像可能会给大家产生一种错觉，即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上，椭圆曲线并不一定关于x轴对称。如下图的y ²-xy=x ³+1
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五、密码学中的椭圆曲线

   我们现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识，这是值得高兴的。但请大家注意，前面学到的椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；所以，我们必须把椭圆曲线变成离散的点。
   让我们想一想，为什么椭圆曲线为什么连续？是因为椭圆曲线上点的坐标，是实数的（也就是说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的），实数是连续的，导致了曲线的连续。因此，我们要把椭圆曲线定义在有限域上（顾名思义，有限域是一种只有由有限个元素组成的域）。

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   域的概念是从我们的有理数，实数的运算中抽象出来的，严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说，域中的元素同有理数一样，有自己得加法、乘法、除法、单位元(1)，零元(0),并满足交换率、分配率。
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   下面，我们给出一个有限域F _p，这个域只有有限个元素。
   
   F_p中只有p（p为素数）个元素0,1,2 …… p-2,p-1；
   F_p 的加法（a+b）法则是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的余数 和c÷p的余数相同。
   F_p 的乘法(a×b)法则是  a×b≡c (mod p)；
   F_p 的除法(a÷b)法则是  a/b≡c (mod p)；即 a×b^-1≡c  (mod p)；（b^-1也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b^-1≡1 (mod p)；具体求法可以参考初等数论，或我的另一篇 文章 ）。
   F_p 的单位元是1，零元是 0。

   同时，并不是所有的椭圆曲线都适合加密。y ²=x ³+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。下面我们就把y ²=x ³+ax+b 这条曲线定义在F _p上：

   选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b
      4a³+27b²≠0　(mod p)
   则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上 无穷远点O∞ ，构成一条椭圆曲线。
     y²=x³+ax+b  (mod p)
   其中 x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

   我们看一下y ²=x ³+x+1  (mod 23)的图像
   
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   是不是觉得不可思议？椭圆曲线，怎么变成了这般模样，成了一个一个离散的点？
   椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子，但其本质仍是一条椭圆曲线。举一个不太恰当的例子，好比是水，在常温下，是液体；到了零下，水就变成冰，成了固体；而温度上升到一百度，水又变成了水蒸气。但其本质仍是H ₂O。

   F _p上的椭圆曲线同样有加法，但已经不能给以几何意义的解释。不过，加法法则和实数域上的差不多，请读者自行对比。

   1 无穷远点 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P
   2 P(x,y)的负元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞
   3 P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)的和R(x₃,y₃) 有如下关系：
     x₃≡k²-x₁-x₂(mod p)
     y₃≡k(x₁-x₃)-y₁(mod p)
     其中若P=Q 则 k=(3x²+a)/2y₁  若P≠Q，则k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)


   例5.1 已知E23(1,1)上两点P(3,10)，Q(9,7)，求1)-P，2)P+Q，3) 2P。
   解 1)  –P的值为(3,-10)
      2)  k=(7-10)/(9-3)=-1/2，2的乘法逆元为12 因为2*12≡1 (mod 23)
          k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。
          x=11²-3-9=109≡17 (mod 23);
          y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
          故P+Q的坐标为(17,20)
      3)  k=[3(3²)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
          x=6²-3-3=30≡20 (mod 23)
          y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
          故2P的坐标为(7,12)
     
   最后，我们讲一下椭圆曲线上的点的阶。
   如果椭圆曲线上一点P，存在最小的正整数n，使得数乘nP=O∞，则将n称为P的 阶，若n不存在，我们说P是无限阶的。
   事实上，在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n都是存在的（证明，请参考近世代数方面的书）


练习：
  1 求出E₁₁(1,6)上所有的点。
  2 已知E₁₁(1,6)上一点G(2,7)，求2G到13G所有的值。


六、椭圆曲线上简单的加密/解密

   公开密钥算法总是要基于一个数学上的难题。比如RSA 依据的是：给定两个素数p、q 很容易相乘得到n，而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有什么难题呢？

   考虑如下等式：
   K=kG  [其中 K,G为Ep(a,b)上的点，k为小于n（n是点G的阶）的整数]
   不难发现，给定k和G，根据加法法则，计算K很容易；但给定K和G，求k就相对困难了。
   这就是椭圆曲线加密算法采用的难题。我们把点G称为基点（base point），k（k
   现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程：

   1、用户A选定一条椭圆曲线Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点G。
   2、用户A选择一个私有密钥k，并生成公开密钥K=kG。
   3、用户A将Ep(a,b)和点K，G传给用户B。
   4、用户B接到信息后 ，将待传输的明文编码到Ep(a,b)上一点M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数r（r   5、用户B计算点C ₁=M+rK；C ₂=rG。
   6、用户B将C ₁、C ₂传给用户A。
   7、用户A接到信息后，计算C ₁-kC ₂，结果就是点M。因为
          C ₁-kC ₂=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M
      再对点M进行解码就可以得到明文。

   在这个加密通信中，如果有一个偷窥者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C ₁、C ₂ 而通过K、G 求k 或通过C ₂、G求r 都是相对困难的。因此，H无法得到A、B间传送的明文信息。

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   密码学中，描述一条Fp上的椭圆曲线，常用到六个参量：
       T=(p,a,b,G,n,h)。
   （p 、a 、b 用来确定一条椭圆曲线，
   G为基点，
   n为点G的阶，
   h 是椭圆曲线上所有点的个数m与n相除的整数部分）

   这几个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几个条件：

   1、p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200位左右可以满足一般安全要求；
   2、p≠n×h；
   3、p^t≠1 (mod n)，1≤t<20；
   4、4a³+27b²≠0 (mod p)；
   5、n 为素数；
   6、h≤4。


七、椭圆曲线在软件注册保护的应用

   我们知道将公开密钥算法作为软件注册算法的好处是Cracker很难通过跟踪验证算法得到注册机。下面，将简介一种利用Fp(a,b)椭圆曲线进行软件注册的方法。


   软件作者按如下方法制作注册机（也可称为签名过程）

   1、选择一条椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G；
   2、选择私有密钥k（k   3、产生一个随机整数r（r   4、将用户名和点R的坐标值x,y作为参数，计算SHA（Secure Hash Algorithm 安全散列算法，类似于MD5）值，即Hash=SHA(username,x,y)；
   5、计算sn≡r - Hash * k (mod n)
   6、将sn和Hash作为 用户名username的序列号

软件验证过程如下：（软件中存有椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G，公开密钥K）

   1、从用户输入的序列号中，提取sn以及Hash；
   2、计算点R≡sn*G+Hash*K ( mod p )，如果sn、Hash正确，其值等于软件作者签名过程中点R(x,y)的坐标，因为
      sn≡r-Hash*k （mod n）
      所以
       sn*G + Hash*K
      =(r-Hash*k)*G+Hash*K
      =rG-Hash*kG+Hash*K
      =rG- Hash*K+ Hash*K
      =rG=R ；
   3、将用户名和点R的坐标值x,y作为参数，计算H=SHA(username,x,y)；
   4、如果H=Hash 则注册成功。如果H≠Hash ，则注册失败(为什么？提示注意点R与Hash的关联性)。

   简单对比一下两个过程：
   作者签名用到了：椭圆曲线Ep(a,b)，基点G，私有密钥k，及随机数r。
   软件验证用到了：椭圆曲线Ep(a,b)，基点G，公开密钥K。
   Cracker要想制作注册机，只能通过软件中的Ep(a,b)，点G，公开密钥K ，并利用K=kG这个关系获得k后，才可以。而求k是很困难的。


练习：
   下面也是一种常于软件保护的注册算法，请认真阅读，并试回答签名过程与验证过程都用到了那些参数，Cracker想制作注册机，应该如何做。

   软件作者按如下方法制作注册机（也可称为签名过程）
   1、选择一条椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G；
   2、选择私有密钥k（k   3、产生一个随机整数r（r   4、将用户名作为参数，计算Hash=SHA(username)；
   5、计算 x’=x  (mod n)
   6、计算sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
   7、将sn和x’作为 用户名username的序列号

   软件验证过程如下：(软件中存有椭圆曲线Ep(a,b)，和基点G，公开密钥K)
   1、从用户输入的序列号中，提取sn以及x’；
   2、将用户名作为参数，计算Hash=SHA(username)；
   3、计算 R=(Hash*G+x’*K)/sn，如果sn、Hash正确,其值等于软件作者签名过程中点R(x,y)，因为
      sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
      所以
       (Hash*G+x’*K)/sn
      =(Hash*G+x’*K)/[(Hash+x’*k)/r]
      =(Hash*G+x’*K)/[(Hash*G+x’*k*G)/(rG)]
      =rG*[(Hash*G+x’*K)/(Hash*G+x’*K)]
      =rG=R (mod p)
   4、v≡x (mod n)
   5、如果v=x’ 则注册成功。如果v≠x’ ，则注册失败。


八、结语

   历经半个多月断断续续的写作，这篇拙作终于算告一段落了。为写这篇文章，我查了大量的资料，但为了使文章更通俗易懂，我尽量避免涉及专业术语，F ₂n域上的椭圆曲线本文也没有涉及。不过，一些名词描述的可能还不太精确，希望众读者对文章的问题，多多批评指正。我也仅仅把这篇文章作为初稿，我会不断修订他的。最后感谢看雪、Sunbird、CCG以及看雪论坛所有成员对我的支持，感谢一切帮助过我的人，没有你们的鼓励，这篇文章我是没有动力写完的，谢谢，谢谢大家！


2003-5-3 初稿，于看雪论坛

<全文完>


主要参考文献

张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1978
闵嗣鹤 严士健，《初等数论》，高等教育出版社，1982
段云所，《网络信息安全》第三讲，北大计算机系
Michael Rosing ，chapter5《Implementing Elliptic Curve Cryptography》，Softbound，1998
《SEC 1: Elliptic Curve Cryptography》，Certicom Corp.，2000
《IEEE P1363a / D9》，2001


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