计算机图形学（四）几何变换_4_二维复合变换_4_二维刚体变换

二维复合变换_4_二维刚体变换

        如果一个变换矩阵仅包含平移和旋转参数 ，则它是一个刚体变换矩阵 （rigid-body transforma-tion matrix） 。二维刚体变换矩阵的一般形式为 矩阵1 ：

         其中，4个元素 r_jk 是 多重旋转项 ，元素 t_rx 和 t_ry 是 平移项 。坐标位置的刚体变化有时也称为刚体运动 （rigid_motion） 变换。变换后坐标位置的所有角度和距离都不变化。此外矩阵1具有其左上角的2x2矩阵是一正交矩阵 (orthogonal matrix) 的特性。这说明，假如将子矩阵的每一行(或每一列)作为一个向量，那么两个行向量( r_xx, r_xy )和( r_yx, r_yy )(或两个列向量)形成单位向量的正交组。这样一组向量也称为 正交向量组 。每个向量具有 单位长度 :

并且向量互相垂直 （它们的点积为零）

因此，假如这些单位向量通过旋转子矩阵进行变换，那么( r_xx, r_xy )就转换成沿x轴的单位向量， (r_yx, r_yy) 转换成沿坐标系统y轴的单位向量:

作为一个例子，下列刚体变换先将对象对于基准点(xr, yr)旋转θ角，然后平移:

这里，左上角2x2子矩阵中的对角单位向量为(cosθ，-sinθ）和(sinθ, cosθ），并且

同样，单位向量(sinθ, cosθ）也由前面的变换矩阵换成y方向的单位向量（0，1）。