最小完美哈希函数

什么是保序最小完美哈希函数

我曾经花了很多脑筋来找一个很好很完美的哈希算法，但都没有想到，最近看到了，掩不住一阵激动分享下。最小完美哈希函数是什么，要从定义说起，这个名字很长，一步步解释。

1. 哈希函数 任意函数h(x)都可以说哈希函数，一般来说，一个良好的哈希函数可以尽量避免重复。x的集合是参数域，h(x)的集合是值域。
2. 完美哈希函数  完美哈希函数，就是完全不会冲突的哈希函数，这要求函数的值域至少比参数域要大
3. 最小完美哈希函数 最小完美哈希函数，就是指函数的值域和参数域的大小完全相等，一个也不多
4. 保序最小完美哈希函数 保序的意思就是指这个哈希之后顺序是不变的，同时还能满足其他两个条件。

这个函数的优点就是形式上很完美，就像给一个排好序的文档编上的序号一般紧凑可靠。但是这个函数有两个缺点，一是必须事前必须知道原数据集，二是需要花一定的CPU来生成这个函数。我认为，对于数据仓库类的线下搜索应用，这个算法是有用武之地的。但对于强调实时的数据业务，这个算法是不适合的。

算法实现

该算法的实现方法是这样的。先构造两个普通的哈希函数h1(x)和h2(x),还有一个用数组实现的函数g(x)。使得,其中n是参数的总个数，H(x)就是最终的有序最小完美哈希函数了。

以上是定义，说不清楚，举个例子就明白了。取一个n为12的数据集。

首先构造这三个函数：
函数h1和h2:

x	h1函数	h2函数
jezebel	5	9
jezer	5	7
...	...	...

函数g:

x	g函数
5	0
7	1
9	0
...	...

根据上文的公式 ，可以得出：

x	h计算步骤	h值
jezebel	g(5)+g(9)	0
jezer	g(5)+g(7)	1
...	...	...

这里的h就可以最小完美哈希函数算出的值了，很神奇，不是吗？

大致的流程走了一遍，现在最最关键的是h1(x),h2(x)和g(x)是怎么得来的。

h1(x)和h2(x)比较简单，可以使用一个很简便的方法获得：先定义一个权重数组w[i],这个数据是一系列随机的数。。其中t[i]指得的字符串x的第i个字符,m值得的函数的值域。只要更换一个权重数组，就可以重新构造一个新函数。有很多方法可以构造这两个函数。

g(x)的获得就比较复杂。可以是凑出来的。就如同上面的例子，因为,。所以我们可以凑出这样就可以满足上面的两个条件了。需要一个数组来存储函数g的结果，当然凑也不能瞎凑，是有方法的，下面专门讲凑的步骤。

算法函数生成

首先随意设定一个数，比如是7，设为,因为我们已知，所以可以推论出。因为，所以可以推出，以此类推就可以了。但要注意的是千万不能重复设定一个数两次，这样就会形成一个环，永远也推不完。所以遇到已经推算过的数的时候，要检测环的存在。这样下去，就可以猜出全部的值了。

现在需要的就是分析这个凑的过程的运行效率问题。这个就要涉及到h1,h2这两个函数的值域大小，如果越大，越容易凑出一个g函数，但是g函数的参数域就会比较大，存储这个g函数的数据就需要占用更多的空间。相反如果值域越小，在凑的时候就非常容易出现环，需要更长的时间才能凑出这个g函数。

怎么办呢？

我们可以使用3个的h函数来降低形成环的可能，就是这样，这样虽然推理g函数的过程会复杂一些，但是很有效，有实验分析表明，当h函数的值域大约参数域的1.23倍的时候，这个g函数的创建尝试次数是常数。

至此，这个算法介绍完了。这个方法是从《Managing Gigabytes》这本书看到的，这里的讲述更浅显一些。

结语

这个哈希函数是一个静态Hash函数，可以非常有效的缩减索引所需要的空间。《Managing Gigabytes》一书中有一个对比，如果直接使用字符串数组，100万个术语需要28MB的空间，而是要这样的哈希函数，可以缩减到12MB。要知道索引小一点，磁盘就能读得快一点，查询就能快一点。所以这个哈希函数对于提高性能是非常给力的。

但是他是静态的，就意味着事前必须知道需要哈希哪些数据。同时生成的算法比较复杂，需要很长的时间来建立索引。没有办法实时添加更新。给他的应用范围提了个极大的限制。窃以为输入法的词库，数据仓库的查询索引，还有一些不需要更新且对性能有要求的场景，这个算法是适用的。