用概率告诉你：集齐 “五福” 要多久

问题描述：
Suppose that each coupon obtained is, independent of what has been previously obtained, equally likely to be any of m different types. Find the expected number of coupons one needs to obtain in order to have at least one of each type.
Hint: Let X be the number needed. It is useful to represent X by
$$X=\sum _i{X}_i$$where each $X_i$ is a geometric random variable.
（问题来源：《Introduction to Probability Models 10th Edition》习题2.42）

中文描述：

假设在一次抽奖活动中，你需要集齐 m 种卡片，每次抽中任意类型卡片的概率是相等的，即$\frac{1}{m}$ 。那么要集齐所有类型，平均要抽多少次？

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背景知识（几何分布）：

这道题第一次做还是费一点脑力的，即便题目给了提示：考虑 m 个几何分布的和，但其实容易带来误导。

对于几何分布，大家都非常了解。每次试验成功的概率是 p，则直到第 n 次试验才第一次成功的概率服从几何分布 P(n)：¹

Suppose that independent trials, each having probability p of being a success, are performed until a success occurs. If we let X be the number of trials required until the first success, then X is said to be a geometric random variable with parameter p. Its probability mass function is given by
$$P(n)=P\{X=n\}=(1-p{)}^{n-1}p,n=1,2,...$$
在本题中只需要用到它的期望：
$$E[X]=\sum _{n=1}^{\inf }np(1-p{)}^{n-1}=1/p$$
也就是说平均需要 1/p 次试验才能成功，这非常直观明显，假设成功的概率是1/3，那平均尝试3次就能成功。

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解答：

先从简单情况分析：

• 假设只有 1 种福卡，那只需要抽1次就集齐了。
• 假设有 2 种福卡呢？首先第一次一定可以抽中其中一种，那么问题就变成了：还需要抽多少次才能抽中第二种？显然这是几何分布问题：成功的概率 p = 1/2，那么平均还需要再抽2次，所以总体上看，平均抽奖 1+2 = 3次就能集齐两种福卡。
• 假设有 m 种福卡呢？大家应该明白了，我们一种一种来数。
  首先，抽中第一种福卡，需要 1 次；
  接着，我们希望抽中一种和之前不同的卡片，那么这个几何分布问题中成功的概率是 $\frac{m-1}{m}$, 即抽中剩余 m-1种的任意一种，失败的概率是 $\frac{1}{m}$，即和第一次抽的一样。那么抽中第二种福卡，需要 $\frac{1}{\frac{m-1}{m}}=\frac{m}{m-1}$次；
  接下来，规律自然就出来了，抽第三种福卡需要和之前两种不同，那么成功的概率是 $\frac{m-2}{m}$，所以抽中第三种福卡，需要 $\frac{1}{\frac{m-2}{m}}=\frac{m}{m-2}$次；
  ……
  最后，抽中第m种福卡，需要 m 次。
  所以，总共需要$$\sum _{i=0}^{m-1}\frac{m}{m-i}=\sum _{i=1}^m\frac{m}{i}$$

你可能有些遗憾，只能写成级数形式，不过这就是最简形式了。
如果你怀疑它的正确性，我们下面来做个简单的仿真。

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程序仿真：

import random
import matplotlib.pyplot as plt

def sim(m):
    count = 0
    round = 1000     #重复次数
    for i in range(round):
        l = [0 for i in range(m)]
        while True:
            count = count+1
            l[random.randint(0,m-1)] = 1
            if sum(l[:]) == m:     #全部集齐
                break
    return count/round

def func(m):
    temp = [m/i for i in range(1,m+1)]
    return sum(temp)

x = [i for i in range(1,10)]
y_simulation = [sim(i) for i in x]
y_target = [func(i) for i in x]
plt.plot(x,y_simulation,'b')   #蓝线代表仿真结果
plt.plot(x,y_target,'or')   #红点代表理论结果
plt.show()

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实验结果：
横坐标 代表“福卡”种数
纵坐标 代表抽奖次数


非常完美！
现在你知道在等概率条件下，集齐赢大奖 之类游戏要抽多少次了吧！当然，等概率条件在现实抽奖情况下往往是不存在的。 XD

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1. 《Introduction to Probability Models 10th Edition》p29 ↩︎