微分的概念和微分的基本公式与运算法则

微分的定义

设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，如果当自变量在点x处取得改变量∆x，y=f(x)相应的改变量∆y=f(x+∆x) - f(x)可表示为：
∆y=A(x)∆x+Ο(∆x)
其中A(x)与∆x无关，Ο(∆x)是当∆x->0是比∆x高阶的无穷小量，则称f(x)在点x处可微，并称A(x)∆x为函数f(x)在点x处的微分，记为:dy=A(x)∆x

函数y=f(x)在点x处可微与可导是等价的，且A(x)=f^’(x)；通常把自变量的增量称为自变量的微分，记为dx,即dx=∆x，所以，y=f(x)在点x处的微分可写为： dy = f^’(x) dx

微分基本公式

（1）d( C ) = 0 (C为常数)
（2）d( x^μ ) = μx^μ-1dx
（3）d( a^x ) = a^x㏑adx
（4）d( e^x ) = e^xdx
（5）d( ㏒_a^x) = 1/(x*㏑a)dx
（6）d( ㏑x ) = 1/xdx
（7）d( sin(x)) = cos(x)dx
（8）d( cos(x)) = -sin(x)dx
（9）d( tan(x)) = sec²(x)dx
（10）d( cot(x)) = -csc²(x)dx
（11）d( sec(x)) = sec(x)*tan(x)dx
（12）d( csc(x)) = -csc(x)*cot(x)dx

微分的四则运算法则

设f(x), g(x)都可导，则：
（1）d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x)
（2）d(f(x) - g(x)) = df(x) - dg(x)
（3）d(f(x) * g(x)) = g(x)*df(x) + f(x)*dg(x)
（4）d(f(x) / g(x)) = [g(x)*df(x) - f(x)*dg(x)] / g²(x)

复合函数的微分法则

设 y=f(u), u=g(x)都可导，则复合函数 y = f[ g(x) ] 的微分为：
dy = f[ g(x) ]^'dx = f^’(u)g^’(x)dx