随记-群的概念

离散 笔记一

集合 映射 代数运算 结合交换分配 一一映射 变换 同构 等价关系 集合的分类

• 假设 我有一筐水果 只要是水果就可以往里面放 栗子苹果什么都行 这框就是集合 我觉得水果乱放不是我的风格 我有强迫症 所以就想分类 可是要根据什么标准来分类呢 诶 这时候我就想形状吧 这个标准就是关系 我的这个分类是等价关系 自反对称传递 好了 分好类了 每一种水果就叫一个类也叫子集。这么多种就叫水果的一个分类。
• 但是水果框不便于记录呀 我就拿出纸 一个一个画下来 纸上的一个对应框里的一个 就叫一一映射 于是呢我就开始数数了 加减乘除 开心呀 那我在纸上数数 和框里数数实际上是不是一样的呢 这种对应关系叫做同构 这种操作叫代数运算呢不过运算有它的限制

离散笔记二

同构 代数运算 半群 群

• 上节的水果框是一个集合 )我有水果 其他人也有他们的水果 不过呢 尺有所短寸有所长 农民一号想跟我换橙子 可是他想用苹果来换 我是不要的呀 于是我们约定了一套交易系统 一个橙子两个金币 一个苹果一个金币等等 (这里金币的数量对应着不同的水果 是映射 我假设一个苹果加上一个苹果等于两个 对应的金币也符合整数加法 于是它们同构) 金币间的加法是代数运算 集合是所有金币 同时又符合结合率 我们称集合和加法构成半群 也就是这套交易系统取名 半群

• 于是我开启了水果摊 做起了买卖 有卖就有卖嘛 可是刚刚的交易系统太简单了没有这个功能怎么办？ 好 那就增加这个功能，把东西卖出去定义为加法 东西卖进来为减法 看看不买叫单位元。再改个名字 就叫群 。
  有一天 有个人来我的水果摊 她说想买我的交易系统 心想那就买呀 可是又说她要用到她家的柿子买卖 只有一种水果这系统使不使得 我这几十种都使得 还使不得一种了 拿去拿去。
  过几天又来了 说这系统使得是使得，但是占用太大了 有没有精简版。诶 你这人 要求还挺多 于是从水果框中取一种水果的数量当基 运算规则不变 这回是迷你型了 麻雀虽小五脏俱全 取名子群

• 可是我是一个爱专研的人，这系统是能运行，不过好像还是占用太大，能不能在精简呢。改变了水果框的基还是太大要不重新定义一种运算？于是想到了取余，这下可不得了，我这是想让系统有多大就有多大，有多小就多小呀。那我给它设置一个大小为常数m的基 运算就是mod m 系统取名群2.0 开个玩笑 就叫有限群 假如还能从里面抽取出群的话 就叫有限子群。(关于同余需要补充相关基本概念和运算)
  那么该怎么将水果数量跟这个有限群对应呢。先搬出一堆橙子，然后我将它按排箫的形状排起来一共七列每一列递增，步长为一。思考了一番加上单位元一共八列，那就mod8。一一对应。加减都没问题。搞定。那能不能在缩小呢。那就取出所有偶数 好像也没问题 最后一个单位元是最小的呀