单源最短路 Dijkstra 算法原理详解、代码实现和复杂度分析
图的最短路问题
图 (Graph) 是用途最广泛的数据结构之一，类似 Google 地图、百度地图等地图软件中寻找两地之间的路径，就需要将地图抽象成一张图，从图中计算得到合适的路径。
图分为很多种，例如：无向图，有向图，有向加权图等等，最简单的搜索算法深度优先和广度优先搜索都是用于无向图或有向图查找路径的，而针对加权的图的最短路，这两个方法就不管用了。
最短路的算法有很多种，我们今天要了解的是 Dijkstra 算法，该算法是由荷兰科学家在 1959 年提出的，是一个求单源最短路的算法，也就是有向图中从一个点到任意点的最短路径。
Dijkstra 算法核心思想
在一个有向加权图中，求一个点到其他任意点的最短路径，首先需要有一个数组来表示当前点到其他点的最短路径长度。
核心思路是从顶点 A 往外延伸，不断更新 A 到其他点的距离，我们称这个操作为松弛。
Dijkstra算法实践详解
例如我们现在有如下有向加权图：
计算点 A 到其他顶点的最短距离。
同样的，我们创建 vertexes 数组来临时保存点 A 到其他顶点的最短路距离。在算法计算过程中，从点 A 开始往其他顶点扩散遍历。同时以当前遍历到的边结合 vertexes 数组中的值，不断更新 vertexes 数组中的值。
首先我们以邻接表来表示这个图：
public class Graph {
private class Edge {// 表示边
public int sid;// 边的起始节点
public int tid;// 边的结束节点
public int w;// 边的权重
public Edge(int s, int t, int w) {
this.sid = s;
this.tid = t;
this.w = w;
}
}
private class Vertex {// 用于算法实现中，记录第一个节点到这个节点的距离
public int id;
public int dist;
public Vertex(int id; int dist) {
this.id = id;
this.dist = dist;
}
}
private LinkedList<Edge> adj[];// 邻接表
private int v;// 顶点数
public Graph(int v) {
this.v = v;
this.adj = new LinkedList[v];
for(int i; i<v; i++) {
this.adj[i] = new LinkedList<Edge>();
}
}
public void addEdge(int s, int t, int w) {
this.adj[s].add(new Edge(s, t, w));
}
}
简单的说明一下这个类，它可以用来表示一张图，类中分别有两个成员变量表示邻接表和顶点数，其中，Edge 类表示一条边，结合邻接表可以将图的信息记录，Vertex 类则是记录起始节点到当前节点的最短距离。
在算法实现过程中，我们会使用一个优先队列，将离起始节点最近的节点优先出队，利用这个节点能到达的节点的距离与当前记录在 vertexes 数组中的最短距离比较，进行更新最短距离（松弛）。文字说的不太清楚，结合代码会更容易理解。
注意：由于 Java 类库中没有提供可更新节点信息的优先队列，因此我们需要手动实现一个优先队列，思路是使用一个小顶堆来实现。
优先队列代码：
// 一个可更新数据的优先队列，即小顶堆，根据dist构建
private class PriorityQueue {
private Vertex[] nodes;// 优先队列中的数组
private int count;// 队列中的节点个数
public PriorityQueue(int v) {
this.nodes = new Vertex[v + 1];
this.count = 0;
}
/**
* 出队
*
* @return
*/
public Vertex poll() {
Vertex v = this.nodes[1];
this.nodes[1] = this.nodes[count--];
heapify();// 堆化
return v;
}
/**
* 入队
*
* @param vertex
*/
public void add(Vertex vertex) {
nodes[++this.count] = vertex;
int i = this.count;
while(i/2 > 0 && nodes[i/2].dist > nodes[i].dist) {
swap(i/2, i);
i = i/2;
}
}
/**
* 更新队列中某个节点
*
* @param vertex
*/
public void update(Vertex vertex) {
for (int i = 1; i < count; i++) {
if (nodes[i].id == vertex.id) {
nodes[i] = vertex;
}
}
}
/**
* 判空
*
* @return
*/
public boolean isEmpty() {
if (this.count != 0) {
return false;
} else {
return true;
}
}
// 堆化
private void heapify() {
int minPos = 1;
int temp = 1;
while (true) {
int left = temp * 2;
int right = temp * 2 + 1;
if (left <= count && nodes[left].dist < nodes[temp].dist) {
minPos = left;
}
if (right <= count && nodes[right].dist < nodes[minPos].dist) {
minPos = right;
}
if (minPos == temp) {
break;
}
swap(temp, minPos);
temp = minPos;
}
}
// 交换两个值
private void swap(int temp, int minPos) {
Vertex t = nodes[temp];
nodes[temp] = nodes[minPos];
nodes[minPos] = t;
}
}
现在，我们已经把所有的准备工作都做完了，剩下的只需要利用当前的条件来实现 Dijkstra 算法。
从上图中顶点 1 开始遍历，顶点 1 可以连通到顶点 2 和 3，将顶点 2 和 3 入队，并同时在 vertexes 数组更新到达顶点 2 和 3 的距离。
接着出队为顶点 2，顶点 2 能连通的是顶点 3 和 4，此时，我们可以得到顶点 1 到 3 的距离是 1+9=10，而 vertexes 数组中记录的是 12，因此需要更新 vertexes 数组和队列中节点 3 的 dist 值。
/**
* 计算从顶点 s 到 t 的最短路
* @param s
* @param t
*/
public void dijkstra(int s, int t) {
int[] pre = new int[this.v+1];// 用于还原最短路的路径
Vertex[] vertexes = new Vertex[this.v+1];
for(int i=0; i<this.v; i++) {//初始化 vertexes 数组
vertexes[i] = new Vertex(i, Integer.MAX_VALUE);
}
PriorityQueue queue = new PriorityQueue(this.v+1);//小顶堆
boolean[] inqueue = new boolean[this.v+1];//标记节点是否已经入队
vertexes[s].dist = 0;
queue.add(vertexes[s]);
inqueue[s] = true;
while(!queue.isEmpty()) {
Vertex minVertex = queue.poll();
if(minVertex.id == t){
break;
}
for(int i=0; i<this.adj[minVertex.id].size(); i++){//遍历节点连通的其他节点
Edge e = this.adj[minVertex.id].get(i);//取出节点 minVertex.id 相连的节点
Vertex nextVertex = vertexes[e.tid];//初始节点到下一个节点的距离
if(minVertex.dist + e.w < nextVertex.dist) {//上一步计算得到的距离和当前计算出的距离比较
nextVertex.dist = minVertex.dist + e.w;//更新距离
pre[nextVertex.id] = minVertex.id;//记录路径
if(inqueue[nextVertex.id]){//若节点已经在队列中，则更新值，若不在则入队
queue.update(nextVertex);
} else {
queue.add(nextVertex);
inqueue[nextVertex.id] = true;
}
}
}
}
System.out.print(s);
print(s, t, pre);
}
private void print(int s, int t, int[] pre) {
if(s == t) return;
print(s, pre[t], pre);
System.out.print("->"+t);
}
测试代码：
public static void main(String[] args) {
Graph g = new Graph(6);
g.addEdge(1, 2, 1);
g.addEdge(1, 3, 12);
g.addEdge(2, 4, 3);
g.addEdge(2, 3, 9);
g.addEdge(4, 3, 4);
g.addEdge(4, 5, 13);
g.addEdge(3, 5, 5);
g.addEdge(5, 6, 4);
g.addEdge(4, 6, 15);
g.dijkstra(1, 6);
}
/*output:
1->2->4->3->5->6
*/
Dijkstra 算法复杂度
Dijkstra 算法的核心逻辑已经讲完了，我们现在来考虑一下算法的复杂度情况。
在核心代码部分，最复杂的是 while 循环和 for 循环嵌套的部分，while 循环最多循环 v 次（v 为顶点个数），for 循环执行次数与边的数目有关，假设顶点数 v 的最大边数是 e。
for 循环中往优先队列中添加删除数据的复杂度为O(log v)。
综合上述两部分，最终 Dijkstra 算法的时间复杂度是O(e·logv)
拓展
在实际场景中，如：地图中，我们要查找两点之间的路径，可以使用 Dijkstra 算法计算得到，但是如果两点之间特别远，岔路口、道路特别多，此时再使用 Dijkstra 会非常耗时，那么有什么优化的方案呢？
实际开发中，有个原则，就是需要对解决方案进行权衡取舍，也就是没有必要得出最优解，为了兼顾效率，得到一个可行的次优解也是 OK 的。
- 若地图很大，在查找两点之间的距离时，可以不用遍历所有的路径，先划分出一个区域，包括了两点，再从这个区域中查找。
- 两点距离非常远时，第一点就不可用了，例如，我们要找出北京到上海的路径，首先规划大的出行路线，比如通过那几条告诉可以大致从北京到达上海，接着再分别从北京和上海两个区域查找路线。