第二十讲 拉普拉斯变换求解线性ODE

一，拉氏变换公式：

• ，

二，保证的拉氏变换存在的条件：

• 只有在收敛的情况下，拉氏变换才存在
• 增长条件：保证拉氏变换存在的前提是的增长速度不能超过的收敛速度，
• 指数型表达法：，，，
• 正例：

1. 
2. 

• 反例：

1. ，因为
2. ，因为，，

三，导数的拉氏变换：

• 解微分方程：
• 设初始条件：，
• 一阶导数的拉氏变换：

1. （分部积分）
2. 要使，必须满足增长条件：，，，，或者说
3. 
4. 
5. 
6. 代入初始条件：

• 二阶导数的拉氏变换：

1. 
2. 
3. 代入初始条件：，

四，例题：

• 求解：
• 已知初始条件：，
• 用微分方程法解题步骤：

1. 解齐次方程
2. 求特征方程
3. 根据特征根求通解
4. 解非齐次方程
5. 化成特殊形式，根据指数输入定理求特解
6. 通解=齐次方程通解+非齐次方程特解
7. 代入初始条件得特解

五，用拉氏变换解如上例题的步骤：

• 第一步：等式两边拉氏变换：

1. 左边：
2. 代入初始条件：，
3. 左边：
4. 右边：（根据公式，查表）
5. 左边=右边：

• 第二步：解出：

1. 
2. 

• 第三步：拉式逆变换：

1. 部分分式：
2. 等式两边同乘，令，解得
3. 等式两边同乘，令，解得
4. 代入法：代入，得，解得
5. （查表）
6. （查表）
7. （查表）
8. 结果：