最大流-最小分割问题(Max Flow and Min Cut Problem)

最大流-最小分割问题(Max Flow and Min Cut Problem)

作者：Bluemapleman([email protected])

麻烦不吝star和fork本博文对应的github上的技术博客项目吧！谢谢你们的支持！

知识无价，写作辛苦，欢迎转载，但请注明出处，谢谢！

---

前言：

引入

最小分割问题

最小割问题的针对的是这样的有向图，它的每个边都有一个值为正的容量（capacity）（即权值），表示该边最多允许多少数目的流动。同时，图中有唯一的源点s和唯一的目标点t。

定义一个**分割(st-cut/cut)**为对图中所有顶点的一个二分，二分的两个集合A与B没有任何重合元素，且s在A中，t在B中。

再定义一个分割的容量（capacity）为所有从A到B的所有边的容量之和。

• 两种不同的分割

而最小分割问题就是：找到容量最小的一个分割方式。

最大流问题

最大流问题针对的是与最小分割问题中相同设定的有向图，图中的边也是都有一个值为正的容量（capacity）。

我们定义**流（st-flow/flow）**为一系列赋予图中边的值，这些值必须满足要求：

• 容量限制：$0\le$ 经过该边的流$\le$ 该边的容量
• 局部均衡：每个顶点的流入（inflow）=流出（outflow）（除了源点s和目标点t）

再定义一个**流的值（The value of a flow）**为目标点t的总流入。

而最大流问题就是：找到值最大的一个流。

事实：最小分割和最大流问题其实是对偶问题。

Ford-Fulkerson算法

Ford-Fulkerson就是解决最大流/最小分割问题的一种算法。

• 第一步：初始化，以一个值为0的flow开始。

• 第二步：不断尝试寻找一条增广路径（Agumenting path），即一条从源点s到目标点t的无向路径（即不需要按照有向边的指向走，可以反向走），且满足：

1.可以在某些正向边（Forward Edge）上增加流。（未满）
2.可以在某些反向边（Backward Edge）上减少流。（非空）

几个满足要求的增广路径的例子：

• 第三步：当所有从s到t的路径都已经是满的正向边或者空的反向边时，结束算法。(不存在任何增广路径了)

这里还存在几个问题：

1.如何得到最小分割？
2.如何找增广路径？
3.如果Ford-Fulkerson算法结束了，它一定总是能找到最大流吗？（算法正确性）
4.FF算法总是能结束吗？如果能结束，大概需要多长时间结束？（时间复杂度）

最大流-最小割理论

最大流和最小分割的关系

我们首先定义**穿越一个分割(A,B)净流（A net flow across a cut (A,B)）**为从A到B的边的流的总和，减去从B到A的边的流的总和的差。

• 流值定理：令f为任意流，（A,B）为任意一个分割，则穿越分割（A,B）的净流等于f的值。

直觉：流守恒。

• 弱对偶性（Weak Duality）

f的值$\le$（A,B）的容量

增广路径定理

如果流f状态下，不存在任何的增广路径，则流f为最大流。（解决问题3）

最大流-最小分割定理

最大流的值=最小分割的容量（解决问题1）

---

时间复杂度分析

回到我们上上部分提到的四个问题：

1.如何得到最小分割？ - 找到最大流的值，也就找到了最小分割的容量。
2.如何找到增广路径？ - BFS广度优先搜索就可以。
3.如果Ford-Fulkerson算法结束了，它一定总是能找到最大流吗？（算法正确性） - 是的
4.FF算法总是能结束吗？如果能结束，大概需要多长时间结束？（时间复杂度） - 如果边的容量都为整数情况下能保证结束，时间分析我们接下来看。

FF算法容易碰到的坏情况

即使当边的容量均为整数，增广路径的数目可能和最大流的值一样大，这会造成算法效率低。

不过这种情况可以轻易避免。（优先寻找最短/最宽增广路径）

延伸：规约

对于两类问题A和B：“A$\le$B”

则我们若能解决B问题，也一定能解决A问题。即解决B和解决A问题一样难。

用在最大流问题里，就是配对问题（Bipartite Matching）$\le$最大流问题$\le$线性规划。

参考文献

[1] Introduction to Algorithms: Third Edition, Thomas et al.