贪心算法（greedy algorithms）

贪心算法（greedy algorithms）

作者：Bluemapleman([email protected])

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引入

贪心算法的思路是：希望在解决问题所要求的每一步中，都尽量选择哪个能让当前/局部（local）状态最优的做法，以希望达到全局也最优的状态。

之前的MST问题中的Kruskal算法就可以看作一种贪心算法，因为Kruskal算法就是先将边按照权重由小到大排列，然后按照这个顺序依次加入边，以希望最后得到的生成树也是最小的。

问题

活动选择（Activity Selection）

假设有一系列的活动$a_i$，每个活动从某个时间点$s_i$开始，并且持续进行一段时间，在某个时间点$f_i$结束。我们希望选择一些活动去参加，使得参加的活动的总时长最长。

我们可以用以上贪心算法来解决该问题，主要思路是：不断选取完成时间最早的活动来做，并且移除和被选择的活动时间有重合的其它活动。重复这个过程直到没有任何可选活动。

该贪心算法针对这个问题得到的解是最优的。

哈夫曼编码（Huffman Codes）

假设有一系列的字符，我们希望用一些二进制码来代替这些字符以进行数据压缩，使得压缩后的总比特数最小。哈夫曼编码正是这样一样压缩数据的方式。

如果我们已知各字符在文本中的出现频率，考虑到为了让压缩后的数据更小，我们直觉是让出现频率高的字符用尽可能短的编码，而出现频率高的则可以用更长的编码。

哈夫曼编码的解决方案是这样的：不断找到当前出现频率最小的两个结点（字符或频率），将它们结合，作为一个新生成的结点的左右子结点，并将新生成的结点继续放入比较，直到没有落单的字符。

• 过程演示

该贪心算法针对这个问题得到的解是最优的。

边匹配（Edge Matching）

对于一个图G，我们希望从中选取一些两两互不相邻的边，使得这样的边的数量最多。

该贪心算法针对这个问题得到的解是不一定是最优的，但是它也确实得到了一个尽量最大化的解（Maximal）M，并且对于最优解$M^{\ast }$，存在这样的关系：

$$|M^{\ast }|\le 2\ast |M|$$

顶点包含（Vertex Cover）

对于一个图G，我们尝试找到一个最小的顶点的集合C，使得C中的顶点整体碰到了所有图中的边。

但是这个算法不保证能找到最优结果，比如下面这种情况：

所以该算法会使得集合C的大小达到$\Theta (mlgm)$，不过我们可以通过改进使得|C|$\le$2OPT:

贪心算法找到全局最优解的要求

看了上面几个小实例，发现有时候贪心能找到全局最优解，有时候又不能，甚至找到的解会很差。那么决定一个贪心算法是否能找到全局最优解的条件是什么呢？

其实就是以下两点：

• 最优子结构（optimal subproblem structure,和动态规划中的是一个概念）
• 最优贪心选择属性（optimal greedy choice property）

01背包问题

有关01背包问题，大家具体可以看动态规划之01背包问题（最易理解的讲解）。

这里主要想讲的是，01背包问题是要求物品不可分割的，这时如果用贪心算法也无法保证全局最优。但是如果物品是可无限分割的（fractional knapsack），那么贪心又会是最优的（直觉上来说，优先将单位价值最高的物品放进背包总是没错的）。

我们可以简单证明贪心在此处的正确性：

参考文献

[1] Introduction to Algorithms: Third Edition, Thomas et al.