算法导论——分治算法求最大子数组

算法导论——分治算法求最大子数组

问题描述：求一个数组中的连续子数组，该连续子数组的和的值最大。
解决方法：

• 最为直观的方法就是暴力破解了吧，也就是直接求出该数组的每一个子数组，进一步求和，选取其中最大值。但是暴力法的时间复杂度比较高，为O（n^2），这里不贴代码了，因为是刚好学到了分治算法。
• 分治算法求解：具体思路如下
  1.求一个数组中的最大子数组，利用分治算法，首先第一步需要做的就是将该数组划分为两个规模相当的子数组（为什么第一步是这个？具体去看分治算法的定义）。也就是说，先要找到一个中间线mid
  2.第二步就是要分别考虑求解两个子数组的最大子数组，但是也会出现另外一种情：原数组的最大子数组可能起始位置位于mid左边，终止位置位于mid右边，即cross_mid。
  3.但无论如何，具体情况只可能是以下三种：
  1.最大子数组位于mid左边
  2.最大子数组位于mid右边
  3.cross_mid

具体求解思路：使用递归。
先将原数组划分为两个数组，不断分治划分，到最小（即low==high）。求此时的一个小数组的最大左子数组与最大右子数组以及cross_mid. 取最大值做为该小数组的最大子数组，不断递归。
代码如下：在这里插入代码片

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
def max_son_array(a,low,high,mid):
	left_sum=0
	right_sum=0
	left_max=0
	right_max=0
	left=mid
	right=mid
	for i in range(mid-1,low,-1):
		left_sum+=a[i]
		if left_sum>left_max :
			left_max=left_sum
			left=i
	for i in range (mid,high):
		right_sum+=a[i]
		if right_sum>right_max :
			right_max=right_sum
			right=i
		max_sum=left_max+right_max
	return (max_sum , left, right)
def find_max_array(a,low,high):
	
	if low==high:
		return (low,high,a[low])
	else:
		mid =(low+high)//2
		(l_low,l_high,l_sum)=find_max_array(a,low,mid)
		(r_low,r_high,r_sum)=find_max_array(a,mid+1,high)
		(c_sum,c_low,c_high)=max_son_array(a,low,high,mid)
		if (l_sum>=r_sum)&(l_sum>=c_sum):
			return (l_low,l_high,l_sum)
		elif (c_sum>=l_sum)&(c_sum>=r_sum):
			return (c_low,c_high,c_sum)
		else :
			return (r_low,r_high,r_sum)
aa=[13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7]
print(find_max_array(aa,0,len(aa)-1))