AT4996 [AGC034F] RNG and XOR

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分析：
（太棒了学到虚脱）
先考虑暴力DP：

\[f_i=1+\sum_{j=0}^{2^n-1}p_jf_{i\oplus j} \]

感觉可以用FWT优化诶。。。
设\(F\)为\(f\)的集合幂级数，\(P\)为\(p\)的集合幂级数，\(I\)为每一位都是1的集合幂级数
把上面的DP表达一下：

\[F*P+I=F+c \]

这里的乘法是异或卷积
这里\(c\)是一个常数，因为\(F(0)=0\)需要在常数位进行数值的调整
设\(S(F)\)表示集合幂级数\(F\)每一位的和，发现：

\[S(F)*S(P)+S(I)=S(F)+c \]

带回最原始的DP式，对每个\(f_i\)求和，发现没有问题
由于\(S(P)=1,S(I)=2^n\)，化简上式，发现\(c=2^n\)
对最初的式子变换一下：
\(F*P+I=F+c\)
\(F*(P-1)=c-I\)
发现是一个卷积形式，套FWT函数

\[FWT(F)_iFWT(P-1)_i=FWT(c-I)_i \]

当\(i=0\)时，\(FWT(P-1)_i=(\sum_{j=0}^{2^n-1}p_i)-1=0\)
其余情况可以满足\(FWT(P-1)_i\)不为0，于是做除法：

\[FWT(F)_i=\frac{FWT(c-I)_i}{FWT(P-1)_i} \]

怎么求\(FWT(F)_0\)？
把逆变换的式子拿出来：

\[f_i=\frac{1}{2^n}\sum_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{popcount(i\&j)}FWT(F)_j \]

\(popcount(x)\)为\(x\)二进制下1的个数
我们令\(i=0\)，又因为\(f_i=0\)，那么：

\[\sum_{j=0}^{2^n-1}FWT(F)_j=0 \]

\[FWT(F)_0=-\sum_{j=1}^{2^n-1}FWT(F)_j \]

逆变换回去，解出\(F\)即可
复杂度\(O(2^nn)\)

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