割点与桥与缩点（tarjan）

割点：若删除该点，图不连通，则该点为割点
桥：若删除该边，图不连通，则该边为桥

---

如何求割点：
Tarjan算法，一次dfs遍历：

1. 对每个点，记录dfs序为dfn[]，low值为low[]（low初始值与dfn相同）
2. 回溯时，如果回溯点的low值小于当前点low值，更新当前点low值
3. 对于根节点，需要特判，其子节点>=2为割点

我们可以发现，low值记录的是：该点所在的强连通 能达到的最上高度
那么，对于一个点u，存在它的子节点和孙子节点v的low值，满足：
low[v]>=dfn[u]。
即代表，v所在的强连通最上高度，都不超过u ，也就是说，如果v点想要达到u以上高度，必须经过u。
此时，我们判定U为割点。

---

如何求桥：
和上述一致，判定条件变为：
对点u，存在子节点满足，
low(v)>dfn(u)，该边（u,v）为桥。
因为当low(v)=dfn(u)时，即表明两点间存在环路，不可能为桥；即只有小于情况下想要跳到u以上高度，一定经过（u,v）边。

void Tarjan(int u,int father){
    int son=0;
    low[u]=dfn[u]=++time;
    for(int i=first[u];~i;i=E[i].next){
        int v=E[i].v;
        if(v==father||v==key)continue;
        if(!dfn[v]){
            son++;
            Tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//更新low值
            if((low[v]>=dfn[u]&&u!=root)||(u==root&&son>1)){//割点
                    subnets[u]++;
                    flag=false;
                    return;
            }
        }
        else {
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

---

缩点：把同一个强连通分量内的点们缩成一点

---

如何缩点：

1. 对当次遍历的点u，进栈stack[]=u。标记点u已进入，instack[u]=1
2. 遍历完u的所有边后，若low[u]=dfn[u] 。表示u和其子节点构成一个联通分量，缩点。
3. 缩点数cnt++，从stack中出栈，栈中的点们都归与一个缩点，belong[]=cnt。标记点们出栈，instack[u]=0

void Tarjan(int u,int father){
    sta[++top]=u;//入栈
    instack[u]=1;
    low[u]=dfn[u]=++cnt;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
        int v=e[i].v;
        if(i==(father^1))continue;
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v,i);
            low[u]=min(low[u],low[v]);//更新low
        }
        else if(instack[v]){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        key++;//缩点
        int v;
        do{
            v=sta[top--];//出栈
            instack[v]=0;
            belong[v]=key;
        }while(v!=u);
    }
}