LCA 最近公共祖先

参考:  https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html 

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先?)

Tarjan/DFS+ST/倍增

    在一棵没有环的树上,每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点,而最近公共祖先,就是两个节点在这棵树上深度最大公共祖先节点

    换句话说,就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点

    所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

    有人可能会问:那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢?

    答案是肯定的,很简单,按照人的亲戚观念来说,你的父亲也是你的祖先,而LCA还可以将自己视为祖先节点

举个例子吧,如下图所示最近公共祖先是2最近公共祖先最近公共祖先。 

LCA 最近公共祖先_第1张图片

    这就是最近公共祖先的基本概念了,那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢?

    通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法:对于每个询问,遍历所有的点,时间复杂度为O(n*q),很明显,nq一般不会很小

一、Tarjan

    什么是Tarjan(离线)算法呢?顾名思义,就是在一次遍历中把所有询问一次性解决,所以其时间复杂度是O(n+q)

    Tarjan算法的优点在于相对稳定,时间复杂度也比较居中,也很容易理解。

    下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路:

 

1.任选一个点为根节点,从根节点开始。

      2.遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。

      3.若是v还有子节点,返回2,否则下一步。

      4.合并vu上。

      5.寻找与当前点u有询问关系的点v

      6.若是v已经被访问过了,则可以确认uv的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a

    遍历的话需要用到dfs来遍历,至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

伪代码: 

 

Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
{
    for each(u,v)    //访问所有u子节点v
    {
        Tarjan(v);        //继续往下遍历
        marge(u,v);    //合并v到u上
        标记v被访问过;
    }
    for each(u,e)    //访问所有和u有询问关系的e
    {
        如果e被访问过;
        u,e的最近公共祖先为find(e);
    }
}

假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下:

    1--2,1--3,2--4,2--5,3--6,5--7,5--8,7--9 即下图所示的树

    设我们要查找最近公共祖先的点为9--8,4--6,7--5,5--3;

    设f[]数组为并查集的父亲节点数组,初始化f[i]=i,vis[]数组为是否访问过的数组,初始为0; 

LCA 最近公共祖先_第2张图片

    下面开始模拟过程:

    取1为根节点往下搜索发现有两个儿子2和3;

    先搜2,发现2有两个儿子4和5,先搜索4,发现4没有子节点,则寻找与其有关系的点;

    发现6与4有关系,但是vis[6]=0,即6还没被搜过,所以不操作

    发现没有和4有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[4]=1

    

LCA 最近公共祖先_第3张图片

    表示4已经被搜完,更新f[4]=2,继续5,发现5有两个儿子7和8;

    先7,发现7有一个子节点9,搜索9,发现没有子节点,寻找与其有关系的点;

    发现8和9有关系,但是vis[8]=0,即8没被搜到过,所以不操作;

    发现没有和9有询问关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[9]=1

    表示9已经被搜完,更新f[9]=7,发现7没有没被搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;

    发现5和7有关系,但是vis[5]=0,所以不操作

    发现没有和7有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[7]=1

    

LCA 最近公共祖先_第4张图片

    表示7已经被搜完,更新f[7]=5,继续8,发现8没有子节点,则寻找与其有关系的点;

    发现9与8有关系,此时vis[9]=1,则他们的最近公共祖先find(9)=5

      (find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

    发现没有与8有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[8]=1

 

    表示8已经被搜完,更新f[8]=5,发现5没有没搜过的子节点了,寻找与其有关系的点;

    

LCA 最近公共祖先_第5张图片

    发现7和5有关系,此时vis[7]=1,所以他们的最近公共祖先find(7)=5

      (find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

    又发现5和3有关系,但是vis[3]=0,所以不操作,此时5的子节点全部搜完了;

    返回此前一次搜索,更新vis[5]=1,表示5已经被搜完,更新f[5]=2

    发现2没有未被搜完的子节点,寻找与其有关系的点;

    又发现没有和2有关系的点,则此前一次搜索,更新vis[2]=1

    

LCA 最近公共祖先_第6张图片

    表示2已经被搜完,更新f[2]=1,继续3,发现3有一个子节点6;

    搜索6,发现6没有子节点,则寻找与6有关系的点,发现4和6有关系;

    此时vis[4]=1,所以它们的最近公共祖先find(4)=1;

      (find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

    发现没有与6有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[6]=1,表示6已经被搜完了;

    

LCA 最近公共祖先_第7张图片

    更新f[6]=3,发现3没有没被搜过的子节点了,则寻找与3有关系的点;

    发现5和3有关系,此时vis[5]=1,则它们的最近公共祖先find(5)=1

      (find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

    发现没有和3有关系的点了,返回此前一次搜索,更新vis[3]=1

    

LCA 最近公共祖先_第8张图片

    更新f[3]=1,发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点,此时可以退出整个dfs了。

模板题: https://www.luogu.org/problemnew/show/P3379

AC代码: 

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std ;
const int MAX = 1000100 ;
typedef long long LL ;
int f[MAX] ;
bool vis[MAX] ;
int ancestor[MAX] ; // 祖先
struct Edge{
	int to ;
	int next ;
}edge[MAX*2];
int head[MAX] , tot  ;
struct Query{
	int q ,next ;
	int index ; // 查询编号
}query[MAX*2];
int answer[MAX] ; // 存储最后的查询
int h[MAX];
int tt ;
void init(int n){
	for(int i = 1 ; i<=n ; i++) f[i] = i ;
	memset(head,-1,sizeof(head)) ;
	memset(h,-1,sizeof(h)) ;
	return ;
}
int Find(int x ){
	if(f[x] == x ) return x ;
	else{
		return f[x] = Find(f[x]) ;
	}
}
void Merge(int u ,int v){
	int t1 = Find(u) ;
	int t2 = Find(v) ;
	if(t1!=t2){
		f[t1] = t2 ;
	}
}
void addedge(int u , int v) {
	edge[tot].to = v ;
	edge[tot].next = head[u] ;
	head[u] = tot++ ;
	return ;
}
void add_query(int u ,int v ,int index ) {
	query[tt].q = v ;
	query[tt].next = h[u] ;
	query[tt].index = index ;
	h[u] = tt++ ;
	return ;
}
void LCA(int u) {
	ancestor[u] = u ;
	vis[u] = true ;
	for(int i = head[u] ; i!=-1 ;i = edge[i].next) {
		int v = edge[i].to ;
		if(vis[v]) continue ;
		LCA(v) ;
		Merge(u,v) ;
		ancestor[Find(u)] = u ;
	}
	// 寻找与当前点u 有询问关系的点v
	for(int i = h[u] ; i!=-1 ; i = query[i].next) {
		int v = query[i].q  ;
		if(vis[v]){ // 如果有, 并且已经被访问过了
		//则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。
			answer[query[i].index] = ancestor[Find(v)]  ;
		}
	}
}


int main(){
	int n  ;
	int q ;
	int s ;
	scanf("%d%d%d",&n,&q,&s);
	init(n) ;

	for(int i = 1 ; i<=n-1 ; i++ ) {
		int u , v ;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		addedge(u,v) ;
		addedge(v,u) ;
	}

	for(int i = 0 ; i>u >> v ;
		add_query(u,v,i) ; // i 表示第几次询问
		add_query(v,u,i) ;
	}
	
	LCA(s) ;
	for(int i = 0 ; i

 

 

后面方法学了在打上....

 

 

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