【51Nod1584】加权约数和（数论）

【51Nod1584】加权约数和（数论）

题面

51Nod

题解

要求的是$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n max(i,j)\sigma(ij)$$
这个\(max\)太讨厌了，直接枚举一半乘个二。

\[2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i}i\sigma(ij)-\sum_{i=1}^ni\sigma(i^2) \]

后面这一半可以直接预处理，只需要把\(i\)分解，可以做到调和级数的复杂度。
只考虑前面这一半，显然只需要考虑的是\(\sigma(ij)\)这个东西。
那么我们考虑在\(i\)中枚举一个约数，在\(j\)中枚举一个约数，然后把这两个约数合并一下，看看能不能让每个约数只被计算一次。

\[\sigma(ij)=\sum_{u|i}\sum_{v|j}[gcd(u,\frac{j}{v})=1]uv \]

证明的话，大概就是我们的目标是让每个约数只被计算一次，首先在\(i\)中枚举一个约数肯定没有问题，在\(j\)中枚举一个质因数也没有问题。对于\(uv\)这个数而言，我们把只在\(i\)中有的因子和只在\(j\)中有的因子给丢掉，只考虑在\(i,j\)中都含有的因子\(u',v'\)，对于一个数\(uv\)而言，可能算重的情况是\(u'\)从\(v'\)那里抢走了一个质因子，而此时\(\frac{j}{v}\)就会对应的乘上那个质因子，使得\(gcd\neq 1\)，所以每个数只会被计算一次。
有了这个式子就很好搞了，首先把这个式子换一个形式：

\[\sigma(ij)=\sum_{u|i}\sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]\frac{uj}{v} \]

带回去得到：

\[\sum_{i=1}^n i\sum_{j=1}^i\sum_{u|i}\sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]\frac{uj}{v} \]

考虑对于每一个\(i\)分别计算答案，所以我们设

\[\begin{aligned} f[n]&=n\sum_{j=1}^n\sum_{u|n}\sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]\frac{uj}{v}\\ &=n\sum_{j=1}^n \sum_{u|n}\sum_{v|j}\frac{uj}{v}\sum_{k|u,k|v}\mu(k)\\ &=n\sum_{j=1}^n\sum_{k|n,k|j}\mu(k)\sum_{k|u,u|n}\sum_{k|v,v|j}\frac{uj}{v}\\ &=n\sum_{j=1}^n\sum_{k|n,k|j}\mu(k)(k\sigma(\frac{n}{k}))\sigma(\frac{j}{k})\\ &=n\sum_{k|n}\mu(k)k\sigma(\frac{n}{k})\sum_{i=1}^{n/k}\sigma(i) \end{aligned}\]

然后就是前缀和计算就行了。
所有东西可以线性筛，中间要求逆就直接快速幂了。。。。

#include
#include
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 1000000007
#define MAX 1000100
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
bool zs[MAX];
int pri[MAX],tot;
int mu[MAX],sig[MAX],ssig[MAX],pw[MAX],spw[MAX],dpw[MAX],dspw[MAX],dsig[MAX];
int f[MAX],s[MAX];
void Sieve(int n)
{
	mu[1]=1;dsig[1]=sig[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!zs[i])
		{
			pri[++tot]=i,mu[i]=MOD-1;
			sig[i]=i+1,pw[i]=i,spw[i]=i+1;
			dsig[i]=dspw[i]=(1+i+1ll*i*i)%MOD;dpw[i]=1ll*i*i%MOD;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j])
			{
				mu[i*pri[j]]=MOD-mu[i];
				sig[i*pri[j]]=1ll*sig[i]*sig[pri[j]]%MOD;
				pw[i*pri[j]]=pri[j],spw[i*pri[j]]=1+pri[j];
				dsig[i*pri[j]]=1ll*dsig[i]*dsig[pri[j]]%MOD;
				dpw[i*pri[j]]=dpw[pri[j]];
				dspw[i*pri[j]]=dspw[pri[j]];
			}
			else
			{
				mu[i*pri[j]]=0;
				sig[i*pri[j]]=1ll*sig[i]*fpow(spw[i],MOD-2)%MOD*(spw[i]+pw[i]*pri[j])%MOD;
				pw[i*pri[j]]=pw[i]*pri[j];
				spw[i*pri[j]]=(spw[i]+pw[i]*pri[j])%MOD;
				dspw[i*pri[j]]=(dspw[i]+1ll*dpw[i]*pri[j]%MOD+1ll*dpw[i]*pri[j]%MOD*pri[j]%MOD)%MOD;
				dsig[i*pri[j]]=1ll*dsig[i]*fpow(dspw[i],MOD-2)%MOD*dspw[i*pri[j]]%MOD;
				dpw[i*pri[j]]=1ll*dpw[i]*pri[j]%MOD*pri[j]%MOD;
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)dsig[i]=1ll*dsig[i]%MOD*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)ssig[i]=(ssig[i-1]+sig[i])%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(mu[i])
			for(int j=i;j<=n;j+=i)
				f[j]=(f[j]+1ll*mu[i]*i%MOD*sig[j/i]%MOD*ssig[j/i])%MOD;
		f[i]=1ll*f[i]*i%MOD;s[i]=(s[i-1]+2ll*f[i]+MOD-dsig[i])%MOD;
	}
}
int main()
{
	Sieve(MAX-1);
	int T=read();
	for(int i=1;i<=T;++i)
		printf("Case #%d: %d\n",i,s[read()]);
	return 0;
}