【UOJ#310】【UNR#2】黎明前的巧克力（FWT）

【UOJ#310】【UNR#2】黎明前的巧克力（FWT）

题面

UOJ

题解

把问题转化一下，变成有多少个异或和为\(0\)的集合，然后这个集合任意拆分就是答案，所以对于一个大小为\(s\)的集合，其贡献是\(2^s\)。
于是我们可以弄出若干个\((1+2x^{a_i})\)这样子的多项式，然后异或卷积把它们卷起来就是答案。
根据\(FWT\)异或卷积的理论，如果\(i\)位置有一个\(1\)，那么\(FWT\)之后对于\(j\)位置的贡献是\(-1^{pop\_count(i\&j)}\)。
于是\(1\)对于所有位置的贡献都是\(1\)，\(2\)对于所有位置的贡献是\(\pm 2\)，所以对于每一个多项式，其\(FWT\)后的结果不是\(-1\)就是\(3\)。
但是对于每一个多项式分别\(FWT\)实在是太过浪费，考虑优化这个过程。
因为我们最终要求的只是每个位置上对应的所有值的乘积，每个位置上不是\(-1\)就是\(3\)，那么我们假设有\(x\)个\(-1\)，\(n-x\)个\(3\)。
然后我们只需要把\(x\)给解出来就行了。
于是对应这两个值我们要找到一个等式，我们把所有的多项式加起来然后\(FWT\)，这样子第\(i\)位上的值\(f_i\)就是\(n\)个多项式\(FWT\)之后的和。
于是我们有：\((-1)*x+3*(n-x)=f_i\)，很容易就可以把\(x\)解出来。
然后\((-1)^x*3^{n-x}\)就是每个位置\(FWT\)乘起来之后的值。
把这个数组求出来之后再\(IFWT\)一遍就可以得到答案了。

#include
#include
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define inv2 499122177
#define inv4 748683265
#define MAX 1048576
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],pw[MAX];
void FWT(int *P,int opt,int len)
{
	for(int i=1;i