ANSYS声场分析的理论依据
声场的有限元分析在许多声音设计领域得到了广泛应用，由此产生了一些相关的声学分析软件如SYSNOISE,ACTRAN等。不过这种分析在ANSYS的历史版本中并没有引起足够的注意，提供的相关支持也很少。所以笔者在遇到声场分析时，几乎是首先就把ANSYS排除在外。
但是这种局面在ANSYS15中得到了改观。在ANSYS15中，声场分析第一次被提到了主角的位置，而占据了重要地位。这一点可以从其在帮助中的位置变化感受得到。
在ANSYS14.5的APDL帮助中，声场分析是作为流体分析指南中的一个分支给出来的，帮助中的内容十分简单，而且只有三个例子。
而到ANSYS15的APDL帮助中，声场分析第一次提升到最高级别，见下图
该分析指南展开后，细节如下图
可见，声场分析的各项已经十分详尽，而且其例子大幅度增加，从14.5版本的3个简单例子突变到14个例子。
笔者仔细研读了其帮助内容，感觉15.0的ANSYS已经能对声场分析提供较好的帮助了，所以决定从其他声场分析软件中转移到ANSYS中来。
要用好ANSYS的声场分析部分，第一件事情，是弄明白其理论基础。这一点在批判性思维里面称为隐含假设。只有弄清楚了隐含假设，我们才能对一个结论的根据有清晰的理解，才能真正做好有限元分析。毕竟ANSYS就是基于上述理论进行编程而形成的专业有限元软件。
本篇博文主要是对ANSYS的声场分析理论部分帮助进行了翻译，并在局部地方加入了自己的评论。希望这部分内容对大家学习ANSYS的声场分析有帮助。
1.控制方程
对于没有结构参与的纯声场而言，其控制方程主要包含：NS方程和连续性方程。
（1）连续性方程
其表达式如下
（1-1）
其中，
vx, vy 和 vz ：分别是X,Y,Z三个方向的速度分量；
ρ = 密度
x, y, z = 全局的笛卡尔坐标
t = 时间
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表示。
（2）NS方程
其表达式如下
（1-2）
这里，
gx, gy, gz = 重力加速度的三个分量
ρ = 密度
μe = 有效粘度
Rx, Ry, Rz = 分布阻力
Tx, Ty, Tz =粘性损失项
NS方程描述的是粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
（3）简化NS方程和连续性方程得到的声波方程
基于下面的两个假设
* 流体是可压缩的（密度随着压力的改变而改变）
* 没有平均流动
则NS方程和连续性方程简化为声波方程如下
（1-3）
这里
ρo = 是平均流密度
c = 是流体介质中的声速， 其大小是
其中K是流体的体积模量
μ = 流体的动力粘度
p = 声压，它是坐标及时间的函数
Q = 连续性方程的质量源
t = 时间
《评论》
由上述结论可以知道
* 声波方程是通过NS方程和连续性方程简化而得到的。
* 声波方程的基本变量是声压。
* 流体密度，声速，动力粘度是进行声场分析时需要输入的三个与材料相关的物理量。
（4）亥姆霍兹方程
当压力随时间做简谐变化时，上述声波方程可以演变成亥姆霍兹方程
（1-4）
上述方程中
ω = 2πf
f = 声压的振动频率
2.有限元方程
使用伽辽金方法对声波方程进行离散得到的有限元方程如下：
（2-1）
式中
w=试函数；
dv = 声域ΩF的体积微分；
ds = 声边界域ΓF的面微分；
其它变量的含义见前面方程中所述。
根据动量守恒方程，声场边界的法向速度可以表述为：
（2-2）
将（2-2）代入到（2-1）中，得到声波方程的弱形式
（2-3）
即把（2-1）中方程左边的第4,5项用方程（2-3）中的第4项进行了替换。替换以后，方程中包含了边界上速度的法向分量。第4项中免积分内部包含有法向速度对于时间的偏导数，这是法向加速度的含义。于是进一步替代如下
（2-4）
即把法向加速度用位移对于时间的二阶导数，然后在法线方向投影而得到。
将（2-4）代入到（2-3）中，即用它替换（2-3）中方程左边的第4项，结果如下：
（2-5）
此即声波的有限元方程。
可见，在上述方程中
在域内，变量是声压；而密度，声速，动力粘度是三个基本材料参数；质量源也参与其中。
而在边界上，涉及到流体的位移。
3.矩阵表述
方程（2-5）中包含了流体压力和结构位移分量，这是独立的变量。通过引入形函数，得到任一节点的压力和位移的表达式
（3-1）
此即把任意一个点的压力和位移用单元节点的压力和位移来表述。其中
{N} = 压力的单元形函数
{N'} = 位移的单元形函数
{Pe} = 节点压力矢量
{ue} = {uxe},{uye},{uze} = 节点位移矢量
这样，上述压力和位移的相关导数项可以表述如下
（3-2）
将（3-1）（3-2）代入到（2-5）中，得到
（3-3）
式中，
{n} = 流体边界的外法线矢量
{q} = 节点质量源矢量
【评论】
可见，方程左边有4项，右边有2项。
其中
左边第1项：包含的是压力的二次导数
左边第2项：包含的是压力的一次导数
左边第3项：包含的是压力本身
左边第4项：包含的是边界的节点位移的两阶导数，实指节点加速度
右边第1项：节点质量源的一阶导数
右边第2项：节点质量源本身
将上述方程（3-3）进一步写成
其中
它是声流体质量矩阵
它是声流体阻尼矩阵
它是声流体刚度矩阵
它是声流体边界矩阵，
是声流体载荷矩阵。
经过上述改装以后，声场的矩阵形式方程具有了与结构分析很相似的形式。