ANSYS声场分析的理论依据

声场的有限元分析在许多声音设计领域得到了广泛应用,由此产生了一些相关的声学分析软件如SYSNOISE,ACTRAN等。不过这种分析在ANSYS的历史版本中并没有引起足够的注意,提供的相关支持也很少。所以笔者在遇到声场分析时,几乎是首先就把ANSYS排除在外。

但是这种局面在ANSYS15中得到了改观。在ANSYS15中,声场分析第一次被提到了主角的位置,而占据了重要地位。这一点可以从其在帮助中的位置变化感受得到。

在ANSYS14.5的APDL帮助中,声场分析是作为流体分析指南中的一个分支给出来的,帮助中的内容十分简单,而且只有三个例子。

而到ANSYS15的APDL帮助中,声场分析第一次提升到最高级别,见下图

ANSYS声场分析的理论依据_第1张图片

该分析指南展开后,细节如下图

ANSYS声场分析的理论依据_第2张图片

可见,声场分析的各项已经十分详尽,而且其例子大幅度增加,从14.5版本的3个简单例子突变到14个例子。

笔者仔细研读了其帮助内容,感觉15.0的ANSYS已经能对声场分析提供较好的帮助了,所以决定从其他声场分析软件中转移到ANSYS中来。

要用好ANSYS的声场分析部分,第一件事情,是弄明白其理论基础。这一点在批判性思维里面称为隐含假设。只有弄清楚了隐含假设,我们才能对一个结论的根据有清晰的理解,才能真正做好有限元分析。毕竟ANSYS就是基于上述理论进行编程而形成的专业有限元软件。

本篇博文主要是对ANSYS的声场分析理论部分帮助进行了翻译,并在局部地方加入了自己的评论。希望这部分内容对大家学习ANSYS的声场分析有帮助。



1.控制方程

对于没有结构参与的纯声场而言,其控制方程主要包含:NS方程和连续性方程。

(1)连续性方程

其表达式如下

ANSYS声场分析的理论依据_第3张图片(1-1)

其中,

vx, vy 和 vz :分别是X,Y,Z三个方向的速度分量;

ρ = 密度

x, y, z = 全局的笛卡尔坐标

t = 时间

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表示。


(2)NS方程

其表达式如下

ANSYS声场分析的理论依据_第4张图片

ANSYS声场分析的理论依据_第5张图片

ANSYS声场分析的理论依据_第6张图片(1-2)

这里,

gx, gy, gz = 重力加速度的三个分量

ρ = 密度

μe = 有效粘度

Rx, Ry, Rz = 分布阻力

Tx, Ty, Tz =粘性损失项

NS方程描述的是粘性不可压缩流体动量守恒运动方程


(3)简化NS方程和连续性方程得到的声波方程

基于下面的两个假设

* 流体是可压缩的(密度随着压力的改变而改变)

* 没有平均流动

则NS方程和连续性方程简化为声波方程如下

ANSYS声场分析的理论依据_第7张图片(1-3)

这里

ρo = 是平均流密度

c = 是流体介质中的声速, 其大小是ANSYS声场分析的理论依据_第8张图片 其中K是流体的体积模量

μ = 流体的动力粘度

p = 声压,它是坐标及时间的函数

Q = 连续性方程的质量源

t = 时间


《评论》

由上述结论可以知道

* 声波方程是通过NS方程和连续性方程简化而得到的。

* 声波方程的基本变量是声压。

* 流体密度,声速,动力粘度是进行声场分析时需要输入的三个与材料相关的物理量。


(4)亥姆霍兹方程

当压力随时间做简谐变化时,上述声波方程可以演变成亥姆霍兹方程

ANSYS声场分析的理论依据_第9张图片(1-4)

上述方程中

ω = 2πf

f = 声压的振动频率



2.有限元方程

使用伽辽金方法对声波方程进行离散得到的有限元方程如下:

ANSYS声场分析的理论依据_第10张图片(2-1)

式中

w=试函数;

dv = 声域ΩF的体积微分;

ds = 声边界域ΓF的面微分;

其它变量的含义见前面方程中所述。

根据动量守恒方程,声场边界的法向速度可以表述为:

ANSYS声场分析的理论依据_第11张图片(2-2)

将(2-2)代入到(2-1)中,得到声波方程的弱形式

ANSYS声场分析的理论依据_第12张图片(2-3)

即把(2-1)中方程左边的第4,5项用方程(2-3)中的第4项进行了替换。替换以后,方程中包含了边界上速度的法向分量。第4项中免积分内部包含有法向速度对于时间的偏导数,这是法向加速度的含义。于是进一步替代如下

ANSYS声场分析的理论依据_第13张图片(2-4)

即把法向加速度用位移对于时间的二阶导数,然后在法线方向投影而得到。

将(2-4)代入到(2-3)中,即用它替换(2-3)中方程左边的第4项,结果如下:

ANSYS声场分析的理论依据_第14张图片(2-5)

此即声波的有限元方程。

可见,在上述方程中

在域内,变量是声压;而密度,声速,动力粘度是三个基本材料参数;质量源也参与其中。

而在边界上,涉及到流体的位移。



3.矩阵表述

方程(2-5)中包含了流体压力和结构位移分量,这是独立的变量。通过引入形函数,得到任一节点的压力和位移的表达式

ANSYS声场分析的理论依据_第15张图片

ANSYS声场分析的理论依据_第16张图片(3-1)

此即把任意一个点的压力和位移用单元节点的压力和位移来表述。其中

{N} = 压力的单元形函数

{N'} = 位移的单元形函数

{Pe} = 节点压力矢量

{ue} = {uxe},{uye},{uze} = 节点位移矢量

这样,上述压力和位移的相关导数项可以表述如下

ANSYS声场分析的理论依据_第17张图片

ANSYS声场分析的理论依据_第18张图片

ANSYS声场分析的理论依据_第19张图片(3-2)

将(3-1)(3-2)代入到(2-5)中,得到

ANSYS声场分析的理论依据_第20张图片

(3-3)

式中,

{n} = 流体边界的外法线矢量

{q} = 节点质量源矢量

【评论】

可见,方程左边有4项,右边有2项。

其中

左边第1项:包含的是压力的二次导数

左边第2项:包含的是压力的一次导数

左边第3项:包含的是压力本身

左边第4项:包含的是边界的节点位移的两阶导数,实指节点加速度

右边第1项:节点质量源的一阶导数

右边第2项:节点质量源本身

将上述方程(3-3)进一步写成

ANSYS声场分析的理论依据_第21张图片

其中

ANSYS声场分析的理论依据_第22张图片

它是声流体质量矩阵

ANSYS声场分析的理论依据_第23张图片

它是声流体阻尼矩阵

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它是声流体刚度矩阵

ANSYS声场分析的理论依据_第25张图片

它是声流体边界矩阵,

ANSYS声场分析的理论依据_第26张图片

是声流体载荷矩阵。

经过上述改装以后,声场的矩阵形式方程具有了与结构分析很相似的形式。

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