栈 - 关于出栈序列，判断合法的出栈序列

1 引例

（例）设栈的入栈序列是 1 2 3 4，则下列不可能是其出栈序列的是（ ）。
A. 1 2 4 3
B. 2 1 3 4
C. 1 4 3 2
D. 4 3 1 2
E. 3 2 1 4

一般人看到此类题目，都会拿起草稿纸，将各个选项都模拟一遍选出正确答案
这当然可以得出正确的答案 （D ）
但当元素个数过多的时候，这个方法不可取，而且，这种人工模拟过程浪费时间且容易出错，下面将介绍一种简单的做题方法。

2 做题方法

按顺序入栈的序列，任意元素 e ，比 e 先入栈的元素，并且比 e 后出栈的元素，一定是逆序的。

读起来有点绕口，那么先记下 “ 后出先入逆序 ”

1、以最上面的例题为例，若要写出所有以 1 2 3 4 为入栈顺序的出栈序列
暴力求解：4个元素一共有 $A_4^4$ 共24种排列（下表加粗斜体部分）

1234	1243	1324	1342	1423	1432
2134	2143	2314	2341	2413	2431
3124	3142	3214	3241	3412	3421
4123	4132	4213	4231	4312	4321

表格中加粗的排列为合法排列一共有 14 个
现在可以随意选一个序列来理解一下什么是 “ 后出先入逆序 ”
比如序列：3 1 2 4

1. 选择任意元素 e ，这里选择 3
2. 比 3 后出栈的有三个元素 1 2 4
3. 其中比 3 先入栈的有两个元素 1 2
4. 但是 1 2 是正序的，而不是逆序的
5. 所以这个序列不是合法出栈序列

（注：可以利用递归设计出相应的算法来判断所有合法序列）

2、若只要求出一共有多少个合法出栈序列

将元素个数替换 n 计算即可，计算得 14
该公式称为卡塔兰数（Catalan number）公式，了解更多 点这里

注：上式中的括号上下两个数（2n和n）代表数学中排列组合公式中的C上下两个数，即用组合公式来求即可。

3 原因

3.1 选项D（4 3 1 2）的模拟

1、将 1 2 3 4 顺序依次入栈：

2、弹出栈顶元素 4：

3、弹出栈顶元素 3：

接下来栈内只剩下元素 1 和 2 ，并且 2 在栈顶
所以说 D （4 3 1 2） 选项的出栈顺序最后的 1 和 2 是无法完成的

可以发现：
如果把最后两个元素的顺序逆置一下，就可以完成了