常用的偏微分方程

偏微分方程通常包含两个以上的自变量。若自变量同时间相关(或者无关),称其为发展型(或者稳态)的。下面,我们罗列出一些典型的偏微分方程,如:热传导方程、一阶双曲守恒律方程、二阶波动方程、椭圆型偏微分方程等。

  • 抛物型偏微分方程通常刻画⼀个物理系统的扩散现象。典型的模型方程是热传导方程 u t = Δ u ≡ u x x + u y y + u z z , u_t=\Delta u\equiv u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}, ut=Δuuxx+uyy+uzz,该式描述了在各向同性介质中热量的理想传播现象。
  • 双曲型偏微分方程刻画了一个物理系统中的流动现象。
    一阶双曲守恒律方程 u t + f ( u ) x = 0 u_t+f(u)_x=0 ut+f(u)x=0描述了一个物理系统中的单向流动现象,例如水流、气流或者交通流等现象。当 f ( u ) = a u f(u)=au f(u)=au时,其中 a a a是给定的常数,相应的双曲守恒律方程也称为对流方程。
    二阶波动方程 u t t = Δ u , u_{tt}=\Delta u, utt=Δu, 描述了在各向同性介质中声波的传播现象,不是单向流动。该方程也称为声波方程。
  • 椭圆型偏微分方程是⼀个典型的稳态偏微分方程。它可以广泛地用于一个物理系统中的静力分析。
    二阶 Poisson 方程 Δ u = f \Delta u=f Δu=f常见于静电学、机械工程和理论物理中。当 f = 0 f = 0 f=0 时,它称为 Laplace 方程,在数学理论研究中也具有非常重要的地位。例如,调和分析中的 Cauchy-Riemann 方程就是 Laplace 方程。
    四阶双调和方程 Δ Δ u = f \Delta\Delta u = f ΔΔu=f常见于连续介质力学,描述了先行塑性材料的扭曲变形规律。

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