高斯相乘引理及其证明

高斯相乘引理 (Gaussian product lemma)

N(x;a,A)N(x;b,B)=N(0;a−b,A+B)N(x;aA+bB1A+1B,11A+1B)(930) (930) N ( x ; a , A ) N ( x ; b , B ) = N ( 0 ; a − b , A + B ) N ( x ; a A + b B 1 A + 1 B , 1 1 A + 1 B )

其中 N(x;a,A) N ( x ; a , A ) 表示以均值为 a a ，方差为 A A ，自变量为 x x 的高斯概率密度函数。
证：
(1) 指数部分

N(x;a,A)N(x;b,B)∝∝∝∝exp[−(x−a)22A−(x−b)22B]exp[−x2(12A+12B)+x(aA+bB)]exp⎡⎣−(12A+12B)(x−aA+bB1A+1B)2⎤⎦N(x;aA+bB1A+1B,11A+1B)(931)(932)(933)(934) (931) N ( x ; a , A ) N ( x ; b , B ) ∝ exp ⁡ [ − ( x − a ) 2 2 A − ( x − b ) 2 2 B ] (932) ∝ exp ⁡ [ − x 2 ( 1 2 A + 1 2 B ) + x ( a A + b B ) ] (933) ∝ exp ⁡ [ − ( 1 2 A + 1 2 B ) ( x − a A + b B 1 A + 1 B ) 2 ] (934) ∝ N ( x ; a A + b B 1 A + 1 B , 1 1 A + 1 B )

其中 ∝ ∝ 表示正比于。
(2) 系数部分（显然）

12πA−−−−√12πB−−−−√=12π(A+B)−−−−−−−−−√12πABA+B−−−−−−√(935) (935) 1 2 π A 1 2 π B = 1 2 π ( A + B ) 1 2 π A B A + B

因此

N(x;a,A)N(x;b,B)=N(0;a−b,A+B)N(x;aA+bB1A+1B,11A+1B)(936) (936) N ( x ; a , A ) N ( x ; b , B ) = N ( 0 ; a − b , A + B ) N ( x ; a A + b B 1 A + 1 B , 1 1 A + 1 B )

从高斯相乘引理，我们可以得到以下两个结论

1. 两个高斯PDF相乘正比于一个新的高斯PDF。
2. 两个Gaussian PDF相乘，其实是在降方差， (1A+1B)−1≤min(A,B) ( 1 A + 1 B ) − 1 ≤ min ( A , B )