电磁场与电磁波 复习（3-4）

第三章 静态电磁场及其边界问题的解

3.0 重点

• 基本方程、边界条件、和麦克斯韦方程联系在一起
• 求电容：1、求电位差 2、电位差与电荷之间的比
• 求能量密度 如何构建电场和磁场
• 电位➡️电场
• 矢量磁位➡️磁场
• 自感
  • 内自感
  • 外自感
• 恒定磁场能量密度（与电场对应）
• 镜像法不要求掌握

• 静态电磁场：
  场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场

3.1 静电场分析

3.1.2 电位函数

• 定义：由$▽\times E=0$得$E=-▽\phi$

  即：静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数$\phi$称为静电场的标量电位或简称电位

  根据：梯度的散度为零

• 电位的表示：

  • 体电荷的电位
    $$\phi (r)=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_V\frac{\rho (r^{\prime })}{R}d{V}^{\prime }+C$$
  • 面电荷的电位
    $$\phi (r)=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_S\frac{{\rho }_S(r^{\prime })}{R}d{S}^{\prime }+C$$
  • 线电荷的电位
    $$\phi (r)=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_C\frac{{\rho }_l(r^{\prime })}{R}d{l}^{\prime }+C$$
  • 点电荷的电位
    $$\phi (r)=\frac{q}{4\pi \epsilon R}+C$$

    补充(常用公式)：$$▽(\frac{1}{R})=-\frac{R}{R^3}$$

• 电位差
  $${\int }_P^{Q}E\cdot dl=-{\int }_P^{Q}d\phi =\phi (P)-\phi (Q)=U$$

  两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从$P$点移至$Q$点所做的功

  相关例题：PPT第三章p9

• 电位的微分方程

  • 标量泊松方程：
    $$\begin{array}{l}▽\cdot D=\rho \Rightarrow ▽\cdot E=\frac{\rho }{\epsilon }\\ E=-▽\phi \end{array}\}⟹{▽}^2\phi =-\frac{\rho }{\epsilon }$$
  • 拉普拉斯方程：
    $$\rho =0⟹{▽}^2\phi =0$$

• 静电位的边界条件

  • 紧贴界面的相邻两点，其电位分别为${\phi }_1{\phi }_2$
    $${\phi }_1={\phi }_2$$

  $${\epsilon }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial n}-{\epsilon }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}={\rho }_S$$

  • 若介质分界面上无自由电荷
    $${\epsilon }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial n}={\epsilon }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}$$
  • 导体表面上电位的边界条件：$\phi =$常数
    $$\epsilon \frac{\partial \phi }{\partial n}=-{\rho }_S$$

3.1.3 导体系统的电容与部分电容

电容：电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量

• 孤立导体的电容：
  $$C=\frac{q}{\phi }$$

• 两个带等量异号电荷$(\pm q)$的导体组成的电容器，其电容为：
  $$C=\frac{q}{U}=\frac{q}{\left|{\phi }_1-{\phi }_2\right|}$$

• 计算电容步骤：
  

  相关例题：PPT第三章p17

3.1.4 静电场的能量

• 静电场的能量：

  • 点电荷
    $$W_e=\frac{1}{2}q\phi$$
  • 体分布电荷
    $$W_e=\frac{1}{2}{\int }_{V}q\phi dV$$
  • 面分布电荷
    $$W_e=\frac{1}{2}{\int }_{S}q\phi dS$$

• 电场能量密度：
  $$w_e=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}\epsilon E^2$$

3.2 导电媒质中的恒定电场分析

由$J=\sigma E$可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场

• 恒定电场的基本场矢量是电流密度$J(r)$和电场强度$E(r)$

• 恒定电场的基本方程为：

  • 微分形式
    $$\{\begin{array}{l}▽\cdot J=0\\ ▽\times E=0\end{array}$$
  • 积分形式
    $$\{\begin{array}{l}{\oint }_{S}J\cdot dS=0\\ {\oint }_{C}E\cdot dl=0\end{array}$$

• 恒定电场的电位函数
  $${▽}^2\phi =0$$

• 恒定电场的边界条件

  • 场矢量的边界条件
    $$\{\begin{array}{l}{e}_n\cdot (J_1-J_2)=0即J_{1n}=J_{2n}\\ e_n\times (E_1-E_2)=0即E_{1t}=E_{2t}\end{array}$$

  • 场矢量的折射关系
    $$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}$$
    

  • 导电媒质分界面上的电荷面密度
    $${\rho }_S=(\frac{{\epsilon }_1}{{\sigma }_1}-\frac{{\epsilon }_2}{{\sigma }_2})J_n$$

  • 电位的边界条件
    $${\phi }_1={\phi }_2{\sigma }_1\frac{\partial {\phi }_1}{\partial n}={\sigma }_2\frac{\partial {\phi }_2}{\partial n}$$

• 恒定电场与静电场的比拟
  

  漏电导$G$

3.3 恒定磁场分析

3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件

• 基本方程
  • 微分形式
    $$\{\begin{array}{l}▽\times H=J\\ ▽\cdot B=0\end{array}$$
  • 积分形式
    $$\{\begin{array}{l}{\oint }_{C}H\cdot dl={\int }_{S}j\cdot dS\\ {\oint }_{S}B\cdot dS=0\end{array}$$
  • 本构关系
    $$B=\mu H$$
• 边界条件
  $$\{\begin{array}{l}{e}_n\cdot (B_1-B_2)=0\\ e_n\times (H_1-H_2)=J_S\end{array}$$
  若分界面上不存在面电流，即$J_S=0$，则
  $$\{\begin{array}{l}{e}_n\cdot (B_1-B_2)=0\\ e_n\times (H_1-H_2)=0\end{array}$$

3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位

• 磁矢位的定义：
  由
  $$▽\cdot B⟹B=▽\times A$$

  $A$是矢量磁位或称磁矢位

  根据旋度的散度为零

• 磁矢位的微分方程

  • 矢量泊松方程
    $${▽}^{2}A=-\mu J$$
  • 矢量拉普拉斯方程$J=0$
    $${▽}^{2}A=0$$

• 磁矢位的表达式

  • 体电流
    $$A(r)=\frac{\mu }{4\pi }{\int }_V\frac{J(r^{\prime })}{R}d{V}^{\prime }$$

    具体证明在PPT第三章p54

  • 面电流
    $$A(r)=\frac{\mu }{4\pi }{\int }_S\frac{J_S(r^{\prime })}{R}d{S}^{\prime }$$

  • 细线电流
    $$A(r)=\frac{\mu I}{4\pi }{\oint }_C\frac{d{l}^{\prime }}{R}$$

• 利用磁矢位计算磁通量
  $$\Phi ={\oint }_{C}A\cdot dl$$

• 磁矢位的边界条件
  $$\begin{gathered} A_1=A_2 \\ {e}_n\times (\frac{1}{{\mu }_1}▽\times A_1-\frac{1}{{\mu }_2}▽\times A_2)=J_S \end{gathered}$$

• 恒定磁场的标量磁位

  $$▽\times H=0⟹H=-▽{\phi }_m$$

• 标量磁位的表达式
  $${\phi }_m(r)=\frac{1}{4\pi {\mu }_0}{\int }_V\frac{{\rho }_m(r^{\prime })}{R}d{V}^{\prime }$$

• 标量磁位的边界条件
  $${\phi }_{m1}={\phi }_{m2}{\mu }_1\frac{\partial {\phi }_{m1}}{\partial n}={\mu }_2\frac{\partial {\phi }_{m2}}{\partial n}$$
  

3.3.3 电感

• 磁通与磁链

  • 单匝细线圈磁通量
    $$\Psi =\Phi$$
  • 多匝线圈磁通量
    $$\Psi =\sum _i{\Phi }_i$$
  • 粗导线则需要考虑穿过导体部分的内磁通量，不穿过导体的外磁通量
    $$\begin{gathered} 内磁通量{\Psi }_o \\ 外磁通量{\Psi }_i \end{gathered}$$
    如图：
    

• 自感

  • 定义式：
    $$L=\frac{\Psi }{I}$$

    $I$为回路$C$中的电流，$\Psi$为磁场与回路$C$的交链

  • 粗导体
    • 内自感
      $$L=\frac{{\Psi }_i}{I}$$

      常用：两根导线单位的长度的内自感
      $$L_i=\frac{{\mu }_0}{4\pi }$$

    • 外自感
      $$L=\frac{{\Psi }_o}{I}$$

  自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关

• 互感

  两闭合回路通电的时候，其中一闭合回路上的电流不仅与其自身交链的磁链成正比，还与另外一回路的交链的磁链成正比

  • 回路$C_1$对回路$C_2$的互感
    $$M_{21}=\frac{{\Psi }_{21}}{I_1}$$
  • 回路$C_2$对回路$C_1$的互感
    $$M_{12}=\frac{{\Psi }_{12}}{I_2}$$

• 纽曼公式(了解就好)

  $$M=\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{C_1}{\oint }_{C_2}\frac{d{l}_1\cdot d{l}_2}{R}$$

磁场能量密度

• 磁场能量密度
  $$w_m=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}\mu H^2$$
• 磁场能量
  $$W_m=\frac{1}{2}{\int }_{V}BHdV=\frac{1}{2}{\int }_V\mu H^{2}dV$$

第四章 时变电磁场

4.0 重点

• 波动方程：知道内容
• 电磁场守恒定理：$$W=W_e+W_m$$
• 坡印廷矢量
• $时谐场$
  • 复数形式麦克斯韦方程➡️平均能量密度
  • 求瞬时坡印廷矢量
  • 平均坡印廷矢量

4.1 波动方程

无源区的波动方程

$$\{\begin{array}{l}{▽}^{2}E-\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=0\\ {▽}^{2}H-\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}H}{\partial t^2}=0\end{array}$$

推证：PPT第四章p9

4.3 电磁能量守恒

• 电磁场的能量密度
  $$w=w_e+w_m=\frac{1}{2}ED+\frac{1}{2}HB$$

• 空间区域$V$中的电磁能量
  $$W={\int }_{V}dV={\int }_V(\frac{1}{2}E\cdot D+\frac{1}{2}H\cdot B)dV$$

• 电磁能量守恒定律为

  $进入体积V的能量=体积V内增加的能量+体积V内损耗的能量$

4.3.3 坡印廷

• 坡印廷定理

  表征电磁能量守恒关系的定理

  • 微分形式
    $$-▽\cdot (E\times H)=\frac{\partial }{\partial t}(\frac{1}{2}E\cdot D+\frac{1}{2}HB)+E\cdot J$$
  • 积分形式
    $$-{\oint }_S(E\times H)\cdot dS=\frac{d}{dt}{\int }_V(\frac{1}{2}E\cdot D+\frac{1}{2}H\cdot B)dV+{\int }_{V}E\cdot JdV$$

• 坡印廷矢量

  描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量

  • 定义
    $$S=E\times H$$
  • 物理意义
    $S$的方向：电磁能量传输的方向
    $S$的大小：通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率

    相关例题：PPT第四章p27

4.5 时谐电磁场

概念：如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场

4.5.1 时谐电磁场的复数形式

• 设$u(r,t)$是一个以角频率$\omega$随时间$t$作正弦变化的场量
  • 实数表示法
    $$u(r,t)=u_m(r)\cos [\omega t+\varphi (r)]$$
  • 复数表示法
    $$u(r,t)=Re[\dot{u}(r)e^{j\omega t}]$$

    其中 复振幅$\dot{u}(r)=u_m(r)e^{j\varphi (r)}$

    时间因子：$e^{j\omega t}$
    相位因子：$e^{j\varphi (r)}$

• 有关复数表示的进一步说明

$⟹$复数式只是数学表示方式， 不代表真实的场
$⟹$真实场是复数式的实部， 即瞬时表达式
$⟹$由于时间因子是默认的， 有时它不用写出来，只用与坐标有关的部份就可表示复矢量

相关例题：PPT第四章p44

4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程

• 表达式
  $$\{\begin{array}{l}▽\times \dot{H_m}=\dot{J_m}+j\omega \dot{D_m}\\ ▽\times \dot{E_m}=-j\omega \dot{B_m}\\ ▽\cdot \dot{B_m}=0\\ ▽\cdot \dot{D_m}=\dot{{\rho }_m}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}▽\times H=J+j\omega D\\ ▽\times E=-j\omega B\\ ▽\cdot B=0\\ ▽\cdot D=\rho \end{array}$$

  略去$\dot{}$和${}_m$

相关例题：PPT第四章p50

4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量

• 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式

• 使用二次式时需要注意的问题

$⟹$二次式只有实数的形式，没有复数形式
$⟹$场量是实数式时，直接代入二次式即可
$⟹$场量是复数式时，应先取实部再代入， 即“先取实后相乘”
$⟹$复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子

• 二次式的时间平均值
  • 实矢量（在时间周期$T$中的平均值）
    • 平均电场能量密度
      $$w_{eav}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}E\cdot Ddt$$
    • 平均磁场能量密度
      $$w_{mav}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}H\cdot Bdt$$
    • 平均能流密度矢量
      $$S_{av}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}E\times Hdt$$
  • 复矢量
    • 平均电场能量密度
      $$w_{eav}=\frac{1}{4}Re(E\cdot D^{\ast })$$
    • 平均磁场能量密度
      $$w_{mav}=\frac{1}{4}Re(H\cdot B^{\ast })$$
    • 平均能流密度矢量
      $$S_{av}=\frac{1}{4}Re(E\times H^{\ast })$$

相关例题：PPT第四章p66