概率论知识回顾（九）：连续型随机变量，概率分布，概率密度

概率论知识回顾（九）

重点： 连续型随机变量，概率分布，概率密度

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知识回顾

1. 连续型随机变量和离散型随机变量有什么不同？
2. 什么是分布函数？
3. 分布函数有什么性质？
4. 什么是概率密度函数？有什么性质？
5. 均匀分布的概率密度函数和分布函数是什么？
6. 指数分布的概率密度函数和分布函数是什么？
7. $\Gamma$ 分布的概率密度函数和分布函数是什么？
8. 正态分布的概率密度函数和分布函数是什么？

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知识解答

1. 连续型随机变量和离散型随机变量有什么不同？
   • 离散型随机变量的取值是有限或可列无穷多个值。而连续性随机变量的取值是不可列无穷多个。
   • 由于连续性随机变量的取值是不可列无穷多个，因此它在每一点的概率取值是零。
2. 什么是分布函数？
   • 由于我们对连续性随机变量每一点的概率为0，因此我们不能像研究离散型随机变量那样研究每一点的概率。我们需要研究一个区间的概率。
   • 因此就有下面的函数。$$F(x)=P\left\{\begin{array}{c}X\le x\end{array}\right\}$$ 表示随机变量 $X$ 的分布函数。根据上面的公式我们就可知 $P\left\{\begin{array}{c}a<X\le b\end{array}\right\}=F(b)-F(a)$
3. 分布函数有什么性质？
   • $F(x)$ 单调不减，即 若 $x_1<x_2$ 则 $F(x_1)\le F(x_2)$ , 因为 $P\left\{\begin{array}{c}{x}_1<X\le x_2\end{array}\right\}\ge 0$
   • $$\begin{gathered} F(+\infty )=1 \\ F(-\infty )=0 \end{gathered}$$
   • $F(x)$ 右连续， 即 $F(x_0+0)=F(x_0)$
4. 什么是概率密度函数？有什么性质？
   • 对于$X$ 的概率分布函数 $F(x)$ 来说，如果有非负函数 $f(x)$ 使得 ${\int }_{-\infty }^{x}f(x)=F(x)$ 则称 $f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数。
   • 性质：$\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1\\ P\left\{\begin{array}{c}{x}_1<X\le x_2\end{array}\right\}={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx\end{array}$
   • ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(x_0)\Delta x$ 表示随机变量取值为 $x_0$ 的概率。
   • 另外，即便有多个 $f(x)$ 在某些特殊点（$F(x)$ 不可导）取值不同，但是如果他们对应于同一个 $F(x)$，也把这些 $f(x)$ 看做同一概率密度函数。
5. 均匀分布的概率密度函数和分布函数是什么？
   • 概率密度：$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\le a\\ \frac{1}{b-a}& a<x<b\\ 0& x\ge b\end{array}$
   • 概率分布：$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x\le a\\ \frac{x-a}{b-a}& a<x<b\\ 1& x\ge b\end{array}$
   • 记作：$X\sim U(a,b)$
6. 指数分布的概率密度函数和分布函数是什么？
   • 概率密度： $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$
   • 概率分布：$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$
   • 指数分布和泊松分布一样具有无记忆性，即$P\left\{\begin{array}{c}X>s+t|X>s\end{array}\right\}=P\left\{\begin{array}{c}X>t\end{array}\right\}$
   • 用途： 常用作各种寿命分布的近似。由于它的无记忆性，因此也被称作是永远年轻的分布。
7. $\Gamma$ 分布的概率密度函数是什么？
   • 概率密度：$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$
   • 其中 $\alpha >0,\beta >0,\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$
   • 记作 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$
   • 用途：$\Gamma$ 分布在水文统计，排队论和可靠性理论中有广泛性应用。
8. 正态分布的概率密度函数是什么？
   • 概率密度：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$
   • 记作 : $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
   • 其中，当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，为标准正态分布，记作 $N(0,1),\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$
   • 另外，对于正态分布 $F(x)$ 来说， $F(x)=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma })$
   • 用途：用途最广，一般来说，如果某一个数量的随机因素比较多，但是这些因素作用不是很大，那么就可以使用正太分布来进行表示，比如身高，体重。