《University Calculus》-chaper8-无穷序列和无穷级数-等比级数

  前言：其实无穷序列和无穷级数和数列{an}以及我们接触微积分就给出的极限概念lim有着紧密的联系，它对于我们在具体的问题当中进行建模和数据分析有着非常重要的作用。

 

  无穷序列：

  最简单的一种说法，就是一个有无限项的数列{an}。由于其项数无限，我们就可以去分析随着数列下标n的增加，an的敛散性，这就和极限联系了起来。包括极限的运算法则夹层定理，在这里都有用武之地。

  无穷级数：

  一个很简单的说法，就是将无穷序列加和，然后分析其敛散性。

 

  在不同的实际工程问题中我们将会面临不同的无穷级数，因此在这之前数学家有必要对无穷级数进行一个有意义的分类然后分别进行讨论。有些分类是根据具体的问题得来，例如调和级数、组合级数以及等比级数等等。有的是通过某些性质进行归类，比如说根据级数的敛散性，我们就可以将其划分成发散级数和收敛级数，那么接下来我们就开始对各类级数展开初步的讨论。

 

  等比级数：形如∑ar^n的级数形式。

  分析其敛散性，我们通过直接求和然后分析敛散性的方法。关于其求和，可以通过等比数列求和公式，也可以通过如下这种快捷方式。

 

  随后基于求得的Sn，我们需要分情况分析公比r的的不同取值，确定等比级数的敛散性。结合极限的知识，我们容易得到如下的结论：

  当|r|<1，等比级数收敛。

  当|r|≥1,等比级数发散。

  我们来结合几个简单的例题来应用一下等比级数。

  Ex1：

  解：容易列出路程s = a+2ar+2ar^2+2ar^3+… = a + 2ar/(1-r) = ar/(1-r).一个看似棘手的物理问题，利用简单的等比级数，得以轻松解决。

  Ex2：将无限循环5.232323…小数表示成两个整数的比。

  解：

 

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