多背包问题近似解法及其近似比

多背包问题：给定n个物品，其中物品i的价格是vi,重量是wi,有m个背包，背包j最大能装物品重量为Bj,求这些背包能够装下物品的最高价格，其中每个物品要么完全放入背包要么不放入。

(1),给出一个求解该问题的近似算法。

(2),设所有Bj都相等，分析你给出的算法的近似比。

 这个问题到底有没有非近似的方法？这个是不是NP问题呢？虽然有些疑惑，但还是找出一个近似算法吧！

(1),这里用贪心算法，依次从剩余的物品中用贪心算法使得第i个背包中的物品价值达到最大，i从1到m。

(2),这里我们可以证明这个近似算法具有常近似比。

      设最优解的总价值为C*,我们要证明C*/C为常数, C为这个近似解的最大价值。

　　如果有背包没有物品的话，C*=C。

　　这里我们假设每个背包里都有物品。

　   假设物品可以部分放入背包，那么我们可以用一个贪心算法解决上面的优化问题，得到的解的最大价值为C', 每个背包j的容量为Wj'=B，价值为Vj'，那么C'>=C*。

　　方案(1)中，假设每个背包j的容量为Wj,所含物品价值为Vj，那么Vj/Wj >= Vj'/Wj'。在方案（1）基础上，我们用单位价值为Vj/Wj的物品把背包j填满，最后物品的总价值为C'', 每个背包j的所含物品的重量为Wj''=B, Vj'', 那么Vj''/Wj'' = Vj/Wj >= Vj'/Wj'， 所以C'' >= C'。又有C'' <= kC， 其中，k = B/min{wi}。

　　所以C* <= C' <= C'' <= kC, 

　　　　　=> C*/C <=k(常数)。

　　得证。

 

这里有一个更优的解法，近似比为2.

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