非对称加密--RSA原理浅析

来龙去脉

 在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法。
 直到1976年，两位美国计算机学家：迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（M.Hellman）提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下完成密钥交换，开创了密码学研究的新方向。这就是“迪菲赫尔曼密钥交换”算法，其仍然是一种对称加密算法，只是密钥不再需要传递。交换原理如下图所示：

其中a，b是在通信两端本地的随机数，g是模p的一个 原根，K是交换后产生的密钥，安全性来源于当p非常大时，已知g，p，A，B很难反算出a，b。 离散对数问题是该算法的基础。
 1977年，三位麻省理工学院的数学家 罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这就是用他们三个人的名字命名的算法-- RSA算法。
 要弄清楚RSA的加密原理，先要知道 欧拉定理：

对于两个互质的正整数m、n，m^φ(n) mod n ≡ 1
当m 进一步得到：m^(k*φ(n)+1) mod n ≡ m

基于此还需要理解一个概念，模反元素：

如果两个正整数e和x互质，那么一定可以找到整数d，使得 e*d-1 被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”
即e*d mod x ≡ 1
等同于 e*d ≡ k*x + 1，k为正整数

敲黑板！！！关键来了，上面两个转换的结果一碰撞，Duang！就碰出了我们RSA的核心算法：

当e与φ(n)互质时，m^(e*d) mod n ≡ m

鸡不鸡冻，开不开森！还有点迷糊？没关系，来继续：

假设我们对m进行加密传输
加密：m^e mod n = c，
解密：c^d mod n = m^(e*d) mod n = m

上述过程中，n+e就是RSA中的公钥，n+d就是RSA中的私钥，c是加密后的密文。

补充：

1. n会非常大，长度一般为1024个二进制位，现在稳妥一点的长度为2048个二进制位。（目前人类已经分解的最大整数，232个十进制位，768个二进制位）
2. 因为需要求出φ(n)，所以根据欧拉函数特点，最简单得到n的方式是由两个质数相乘: 质数：p1、p2 Φ(n) = (p1 - 1) * (p2 - 1)
3. 最终由φ(n)得到 e 和 d

总共生成6个数字：p1、p2、n、φ(n)、e、d

关于RSA的安全：

除了公钥用到了n和e 其余的4个数字是不公开的。 目前破解RSA得到私钥d的思路如下：

1. 由于e*d = φ(n)*k + 1。e是公开的，那必须要知道φ(n)
2. 要得到φ(n)，必须知道p1 和 p2
3. 由于 n = p1 * p2，所以只有将n因数分解才能算出p1 p2
4. 量子计算机如果成功诞生，现在通行于银行及网络等处的RSA加密算法可以破解，也会瓦解所有基于大质数因式分解算力逆天而衍生出的加密算法。

后面我会继续对iOS证书签名相关原理进行分析，同时把常见的加密算法做一下梳理和比较，并附上每种算法在iOS中的代码实现。欢迎一起交流学习心得~