三重积分的计算

计算 $\dps{\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2}\rd x\rd y\rd z}$, 其中 $\Omega$ 是曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成的有界区域.

 

解答:  $$\beex \bea \iiint_\Omega\sqrt{x^2+y^2}\rd x\rd y\rd z &=\int_0^1 \rd z\iint_{x^2+y^2\leq z^2} \sqrt{x^2+y^2}\rd x\rd y\\ &=\int_0^1 \rd z \int_0^z r\cdot 2\pi r\rd r\\ &=\frac{\pi}{6}. \eea \eeex$$