电磁学乱七八糟的符号(三)
电磁学乱七八糟的符号(三)
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author:何伟宝
这里重点是针对各种入射反射折射,chapter5 电磁波的传播
文章目录
- 电磁学乱七八糟的符号(三)
- review
- 平面电磁波,理想介质to理想介质,垂直入射
- 反射系数R
- 折射系数T
- 合成波场量
- 平面电磁波,理想介质to理想介质,斜入射
- 1.垂直极化波
- 斯涅尔反射定律
- 斯涅尔折射定律
- 折射指数,折射率
- 2.平行极化波
- 3.全反射
- 临界角$\theta_c$
- 全内反射
- 慢波&&表面波
- 4.全折射
- 布儒斯特角&&极化角$\theta_b$
- 平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射
- 纯驻波
- 平面电磁波,理想介质to理想导体,斜入射
- 垂直极化入射
- x方向上的行波性
- z方向上的驻波性
- 振幅非均匀性
- 横电波性(TE波)
- 平行极化入射
- x方向上的行波性
- 行波因子$e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)}$
- z方向上的驻波性
- 驻波因子$^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i})$
- 振幅非均匀性
- *横磁波(TM波)
- 结语
review
1.上两张图说明一下极化是怎么回事
2.行波与驻波
1.驻波
每一个点都在等相位震荡
借了,平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射 讲了一下
2.行波(没找到好一点的图,凑合着看吧)
每一个点都在等幅震荡
平面电磁波,理想介质to理想介质,垂直入射
这里借一个最普通的情况,说明基本概念:
反射系数R
R = E x 0 − r E x 0 + i = η 2 − η 1 η 2 + η 1 R=\frac {E^{-r}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta2+\eta1} R=Ex0+iEx0−r=η2+η1η2−η1
定义为边界上反射波电场分量与入射波电场分量之比
折射系数T
T = E x 0 + t E x 0 + i = 2 η 2 η 2 + η 1 T=\frac {E^{+t}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{2\eta_2}{\eta2+\eta1} T=Ex0+iEx0+t=η2+η12η2
定义为边界上折射波电场分量与入射波电场分量之比
可以观察到有:
T − R = 1 T-R=1 T−R=1
合成波场量
看书的图看书的图看书的图看书的图:
E 1 x ( z ) = E x o + i ( 1 − R ) e − j k 1 z + 2 R E x 0 + i c o s k 1 z E_{1x}(z)= E^{+i}_{xo}(1-R)e^{-jk_{1}z}+2RE^{+i}_{x0}cosk_{1}z E1x(z)=Exo+i(1−R)e−jk1z+2REx0+icosk1z
H 1 y ( z ) = E x 0 + i η 1 ( 1 − R ) e j k 1 z + 2 R E x 0 + i η 1 e − j π 2 s i n k 1 z H_{1y}(z)=\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}(1-R)e^{jk_{1}z}+2R\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}e^{-j\frac{\pi}{2}}sink_1z H1y(z)=η1Ex0+i(1−R)ejk1z+2Rη1Ex0+ie−j2πsink1z
对于折射波:
E 2 x ( z ) = T E x 0 + i e − j k 2 z E_{2x}(z)=TE^{+i}_{x0}e^{-jk_2 z} E2x(z)=TEx0+ie−jk2z
E 2 y ( z ) = T E x 0 + i η 2 e − j k 2 z E_{2y}(z)=T\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_2}e^{-jk_2 z} E2y(z)=Tη2Ex0+ie−jk2z
平面电磁波,理想介质to理想介质,斜入射
1.垂直极化波
1.垂直极化波:电场强度分量与入射角垂直的波称为垂直极化波
斯涅尔反射定律
θ i = θ r \theta_i=\theta_r θi=θr
斯涅尔折射定律
s i n θ i s i n θ t = k 2 k 1 = n 2 n 1 \frac {sin \theta_i}{sin \theta_t}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{n_2}{n_1} sinθtsinθi=k1k2=n1n2
其中
折射指数,折射率
n = c μ ε = c ω k n=c\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac c \omega k n=cμε=ωck
垂直极化波的反射系数和折射系数
R ⊥ = η 2 c o s θ i − η 1 c o s θ t η 2 c o s θ i + η 1 c o s θ t R_{\bot}=\frac{\eta_{2}cos\theta_{i}-{\eta_{1}cos\theta_{t}}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}} R⊥=η2cosθi+η1cosθtη2cosθi−η1cosθt
T ⊥ = 2 η 2 c o s θ i η 2 c o s θ i + η 1 c o s θ t T_{\bot}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}} T⊥=η2cosθi+η1cosθt2η2cosθi
对于非铁磁性媒质, μ 1 ≈ μ 2 ≈ μ 0 \mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0} μ1≈μ2≈μ0,则有 η 1 η 2 = ε 1 ε 2 \frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}} η2η1=ε2ε1和 s i n θ t = ε 2 ε 1 sin\theta_{t}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}} sinθt=ε1ε2上式可改为
R ⊥ = c o s θ i − ϵ 2 ϵ 1 − s i n 2 θ i c o s θ i + ϵ 2 ϵ 1 − s i n 2 θ i R_{\bot}=\frac{cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}} R⊥=cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θicosθi−ϵ1ϵ2−sin2θi
T ⊥ = 2 c o s θ i c o s θ i + ϵ 2 ϵ 1 − s i n 2 θ i T_{\bot}=\frac{2cos\theta_{i}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}} T⊥=cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θi2cosθi
2.平行极化波
2.平行极化波:电场强度分量与入射角平行的波称为平行极化波
平行极化波的发射系数和折射系数:
R / / = η 1 c o s θ i − η 2 c o s θ t η 1 c o s θ i + η 2 c o s θ t R_{//}=\frac{\eta_{1}cos\theta_{i}-{\eta_{2}cos\theta_{t}}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}} R//=η1cosθi+η2cosθtη1cosθi−η2cosθt
T / / = 2 η 2 c o s θ i η 1 c o s θ i + η 2 c o s θ t T_{//}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}} T//=η1cosθi+η2cosθt2η2cosθi
对于非铁磁性媒介,上两式可改写为
R / / = ( ε 2 / ε 1 ) c o s θ i − ϵ 2 ϵ 1 − s i n 2 θ i ( ε 2 / ε 1 ) c o s θ i + ϵ 2 ϵ 1 − s i n 2 θ i R_{//}=\frac{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}} R//=(ε2/ε1)cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θi(ε2/ε1)cosθi−ϵ1ϵ2−sin2θi
T / / = 2 ε 2 / ε 1 c o s θ i ( ε 2 / ε 1 ) c o s θ i + ϵ 2 ϵ 1 − s i n 2 θ i T_{//}=\frac{2\sqrt{{\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}}}cos\theta_{i}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}} T//=(ε2/ε1)cosθi+ϵ1ϵ2−sin2θi2ε2/ε1cosθi
显然,斜入射就是可以分解成垂直极化波和水平极化波而被介绍.
3.全反射
当 |R|=1时,入射波全部反射走了:
显然让$R_{\bot} 和 和 和R_{//}$都等于1时会有全反射:
(5,1) s i n θ i = ε 2 ε 1 sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \tag {5,1} sinθi=ε1ε2(5,1)
对于非铁磁性媒质, μ 1 ≈ μ 2 ≈ μ 0 \mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0} μ1≈μ2≈μ0,有:
s i n θ i = ε 2 ε 1 s i n θ t sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}sin\theta_t sinθi=ε1ε2sinθt
显然当 θ t = π 2 \theta_t=\frac \pi 2 θt=2π时全反射,但这个不是重点,因为自变量是 θ i \theta_i θi,所以这只是一个现象而已.
所以有:
临界角 θ c \theta_c θc
满足1.1的 θ i \theta_i θi记作 θ c \theta_c θc有:
θ c = a r c s i n ε 2 ε 1 \theta_c= arcsin \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} θc=arcsinε1ε2
当 θ i = θ c 时 有 : s i n θ c = 1 , θ t = π 2 \theta_i =\theta_c 时有:sin\theta_c=1 ,\theta_t =\frac \pi 2 θi=θc时有:sinθc=1,θt=2π
全内反射
当入射角大于临界角之后,可以求出:
s i n θ 3 t = ε 1 ε 2 s i n θ 3 i > s i n θ t = 1 sin\theta_{3t}=\sqrt{\frac {\varepsilon_1}{\varepsilon_2}}sin\theta_{3i}>sin\theta_t=1 sinθ3t=ε2ε1sinθ3i>sinθt=1
可以看出这个角用平面已经没办法解析了,应该放成复平面再用欧拉公式展开才能探看,但是所幸的是:
c o s θ 3 t = 1 − s i n 2 θ 3 t = ± j ε 1 ε 2 s i n 2 θ 3 i − 1 = ± j ( ε 1 ε 2 ) 1 2 s i n 2 θ 3 i − ε 2 / ε 1 = ± j a cos\theta_{3t} =\sqrt{1-sin^2\theta_{3t}}=\pm j \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}sin^2\theta_{3i}-1}\\ \quad \quad=\pm j(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2})^{\frac 12}\sqrt{sin^2\theta_{3i}-\varepsilon_2/\varepsilon_1}=\pm j a cosθ3t=1−sin2θ3t=±jε2ε1sin2θ3i−1=±j(ε2ε1)21sin2θ3i−ε2/ε1=±ja
可以代入反射系数公式,还是可以得到 ∣ R ⊥ ∣ = ∣ R / / ∣ = 1 |R_{\bot}|=|R_{//}|=1 ∣R⊥∣=∣R//∣=1,还是达到了全反射的条件
但是这个时候,可以代入折射系数可知, T ⊥ ≠ 0 , T / / ≠ 0 T_{\bot}\neq 0 , T_{//}\neq 0 T⊥̸=0,T//̸=0,此时随便带入一个方向的折射波方程得(以垂直为例):
E ⃗ t ( r ⃗ ) = a ⃗ y T ⊥ E 0 + i e − j k 2 x s i n θ 3 t e − j k 2 z c o s θ 3 t a ⃗ y T ⊥ E 0 + i e − a z e j k 2 x s i n θ 3 t \vec E^t(\vec r)=\vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0 e^{-jk_2xsin\theta_{3t}}e^{-jk_2zcos\theta_{3t}}\\ \quad \vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0e^{-az}e^{jk_2 xsin\theta_{3t}} Et(r)=ayT⊥E0+ie−jk2xsinθ3te−jk2zcosθ3tayT⊥E0+ie−azejk2xsinθ3t
可以看到,此时的TEM波已经变成了
振幅往+z方向衰减,方向沿+x方向传播的非均匀平面波,综合反射折射来看,就可以说是很像光纤了
画了个小图,自己了解一下.
从图都可以得出,反射和折射的表面波之间是存在光程差,也就存在着相移,考虑该波等相面:
k 2 x s i n θ 3 t − ω t = C k_2 xsin\theta_{3t}-\omega t=C k2xsinθ3t−ωt=C
求导得相速:
慢波&&表面波
v p x = ω k 2 s i n θ 3 t = v p s i n θ 3 t < v p v_{px} = \frac{\omega}{k_2 sin\theta_{3t}}=\frac {v_p}{sin\theta_{3t}}<v_p vpx=k2sinθ3tω=sinθ3tvp<vp
所以称该波为慢波,或者是表面波
建议看书P147-148
4.全折射
同理,入射波全部折射进理想介质2,但理论上我们只考虑 R / / = 0 R_{//}=0 R//=0具体原因可以看书!
整理得:
布儒斯特角&&极化角 θ b \theta_b θb
s i n θ i = ε 2 ε 2 + ε 1 sin \theta_i =\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_2 +\varepsilon_1} sinθi=ε2+ε1ε2
当存在 θ i \theta_i θi满足上式时,记作布儒斯特角 θ b \theta_b θb:
θ b = a r c s i n ε 2 ε 1 + ε 2 \theta_b=arcsin\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}} θb=arcsinε1+ε2ε2
此时会有垂直极化分量剩余,也就是说,发生全折射的时候,会剩下垂直极化分量
所以这过程也会被称为极化滤波.所以布儒斯特角也称为极化角
平面电磁波,理想介质to理想导体,垂直入射
由于良导体存在趋肤效应,所以研究折射是没有意义的,所以这里只需要研究全反射条件.
由前文的垂直入射的反射系数和折射系数可以看到:
R = − 1 T = 0 R=-1 \quad \quad T=0 R=−1T=0
也可以由理想导体的边界中,电场强度切向连续得到,代入前面的垂直入射分析中得:
E ⃗ 1 x ( z ) = E ⃗ x 0 + i ( e − j k 1 z − e j k 1 z ) = − j 2 E ⃗ x 0 + i s i n k 1 z \vec E_{1x}(z)=\vec E^{+i}_{x0}(e^{-jk_1 z}-e^{jk_1 z}) = -j2\vec E^{+i}_{x0}sink_1 z E1x(z)=Ex0+i(e−jk1z−ejk1z)=−j2Ex0+isink1z
E ⃗ 1 y ( z ) = E ⃗ x 0 + i η 1 ( e − j k 1 z + e j k 1 z ) = 2 η 1 E ⃗ x 0 + i c o s k 1 z \vec E_{1y}(z)= \frac {\vec E^{+i}_{x0}}{\eta_1} (e^{-jk_1 z}+e^{jk_1 z}) = \frac 2{\eta_1} \vec E^{+i}_{x0}cosk_1 z E1y(z)=η1Ex0+i(e−jk1z+ejk1z)=η12Ex0+icosk1z
改写成瞬时形式:
E 1 x ( z , t ) = R e [ E 1 x ( z ) e j ω t ] = 2 E x 0 + i s i n k 1 z s i n ω t E_{1x}(z,t)=Re[E_{1x}(z)e^{j\omega t}]=2E^{+i}_{x0} \quad \quad sink_1 z \quad \quad sin \omega t E1x(z,t)=Re[E1x(z)ejωt]=2Ex0+isink1zsinωt
H 1 y ( z , t ) = R e [ H 1 y ( z ) e j ω t ] = 2 η 1 E x 0 + i c o s k 1 z c o s ω t H_{1y}(z,t)=Re[H_{1y}(z)e^{j\omega t}]=\frac 2 {\eta_1}E^{+i}_{x0}\quad \quad cosk_1 z\quad\quad cos\omega t H1y(z,t)=Re[H1y(z)ejωt]=η12Ex0+icosk1zcosωt
由公式可以看出:
- 在固定一个x-y平面(z固定),波幅只会因为t而改变,这个改变是通过改变相位而来的
- 在固定一个周期中(t固定), 相位不会因为z的传播而改变
- 在固定一个周期中(t固定), 波幅会因为z的传播而震荡
直观一点来说,只要你固定x-y平面,固定看一个周期,想着z往着图里投射波形,就可以看见blog开头的
纯驻波
还可以在时均能流密度 S a v S_{av} Sav中:
S ⃗ a v = 1 2 R e [ a ⃗ z E 1 x ( z ) H ⃗ 1 y ∗ ( z ) ] = 1 2 R e [ − a ⃗ z j 4 ∣ E x 0 + i ∣ 2 η 1 s i n k 1 z c o s k 1 z ] = 0 \vec S_{av}=\frac12 Re[\vec a_zE_{1x}(z)\vec H^*_{1y}(z)] \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac 12Re[-\vec a_z j\frac {4|E^{+i}_{x0}|^2}{\eta_1}sink_1zcosk_1z]=0 Sav=21Re[azE1x(z)H1y∗(z)]=21Re[−azjη14∣Ex0+i∣2sink1zcosk1z]=0
可以看出驻波并不会传输能量,只是周期地把电场能量和磁场能量交换了而已.
平面电磁波,理想介质to理想导体,斜入射
跟之前是一样的,斜入射分成垂直极化波和水平极化波来分析
也是只研究全反射
垂直极化入射
垂直极化入射情况下的合成波:
E ⃗ 1 ( r ⃗ ) = E ⃗ i ( r ⃗ ) + E ⃗ r ( r ⃗ ) = − a ⃗ y j 2 E 0 + i s i n ( k 1 z c o s θ i ) e − j k 1 x s i n θ i \vec E_{1}(\vec r)=\vec E^{i}(\vec r)+\vec E^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ = -\vec{a}_{y}j2E^{+i}_{0}\quad sin(k_{1}zcos\theta_{i})\quad e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}} E1(r)=Ei(r)+Er(r)=−ayj2E0+isin(k1zcosθi)e−jk1xsinθi
H ⃗ 1 ( r ⃗ ) = H ⃗ I ( r ⃗ ) + H ⃗ r ( r ⃗ ) = [ − a x ⃗ c o s θ i c o s ( k 1 z c o s θ i ) − a z ⃗ j s i n θ i s i n ( k 1 z c o s θ i ) ] 2 E 0 + i η 1 e − j k 1 x s i n θ i \vec H_{1}(\vec r)=\vec H^{I}(\vec r)+\vec H^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=[-\vec{a_{x}}cos\theta_{i}cos(k_{1}zcos\theta_{i})-\vec{a_{z}}jsin\theta_{i}sin(k_{1}zcos_{\theta_{i}})]\frac{2E^{+i}_{0}}{\eta_{1}}e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}} H1(r)=HI(r)+Hr(r)=[−axcosθicos(k1zcosθi)−azjsinθisin(k1zcosθi)]η12E0+ie−jk1xsinθi
可以看出(统一看电场,因为几乎所有定义都是用电场定义的):
x方向上的行波性
由 e − j ( k 1 x s i n θ i − ω t ) e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-\omega t)} e−j(k1xsinθi−ωt)给出,而且传播相速为慢波:
v p x = ω k 1 s i n θ i = v p s i n θ i < v p v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_p vpx=k1sinθiω=sinθivp<vp
z方向上的驻波性
由 s i n ( k 1 z c o s θ i ) sin(k_{1}zcos\theta_{i}) sin(k1zcosθi)可以得到
振幅非均匀性
振幅往+z方向做周期性变化,方向沿+x方向等相面 传播的非均匀平面波
以上者三点都有点类似于全内反射
横电波性(TE波)
平行极化入射
E ⃗ 1 ( r ⃗ ) = − [ a ⃗ x j c o s θ i s i n ( k 1 z c o s θ i ) + a ⃗ z s i n θ i c o s ( k 1 z c o s θ i ) ] 2 E 0 + i e − j k 1 x s i n θ i \vec E_1(\vec r)=-[\vec a_x jcos\theta_i sin(k_1 zcos\theta_i)+\vec a_z sin\theta_i cos(k_1 zcos\theta_i)] 2E_0^{+i}e^{-jk_1 xsin\theta_i} E1(r)=−[axjcosθisin(k1zcosθi)+azsinθicos(k1zcosθi)]2E0+ie−jk1xsinθi
H ⃗ 1 ( r ⃗ ) = a ⃗ y 2 E 0 + i η 1 c o s ( k 1 z c o s θ i ) e − j k 1 x c o s θ i \vec H_1(\vec r)=\vec a_y 2\frac{E_0^{+i}}{\eta_1}cos(k_1 z cos\theta_i)e^{-jk_1 xcos\theta_i} H1(r)=ay2η1E0+icos(k1zcosθi)e−jk1xcosθi
同上分析,依然有:
x方向上的行波性
行波因子 e − j ( k 1 x s i n θ i − ω t ) e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)} e−j(k1xsinθi−ωt)
由行波因子表示,而且传播相速为慢波:
v p x = ω k 1 s i n θ i = v p s i n θ i < v p v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_p vpx=k1sinθiω=sinθivp<vp
z方向上的驻波性
驻波因子 c o s s i n ( k 1 z c o s θ i ) ^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i}) cossin(k1zcosθi)
由驻波因子表示
振幅非均匀性
振幅随z变化的非均匀平面波
*横磁波(TM波)
在x的传播方向上电场分量不为0,磁场分量为0
结语
第五章算是写完了,剩下的内容课上也没有介绍了,
开始从单纯的抄写公式到以公式入手理解意义了.也开始配了简单的图
但是万万不足的是,blog上大多其实还是结论,
真正要处理的波动方程除了难一点的之外都没有写出,还需要大家好好看书!
如果你想请我吃个南五的话