四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换

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• RPY角与Z-Y-X欧拉角

　　描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种方式。第一种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γ

，然后绕{A}的Y轴旋转β，最后绕{A}的Z轴旋转α

，就能旋转到当前姿态。可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY角(Roll, Pitch, Yaw)。

　　Roll:横滚

　　Pitch: 俯仰

Yaw: 偏航（航向）

　　由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cα

is shorthand for cosα, sα is shorthand for sinα

,and so on.）

 

RXYZ(γ,β,α)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=⎡⎣⎢⎢cαcβsαcβ−sβcαsβsγ−sαcγsαsβsγ+cαcγcβsγcαsβcγ+sαsγsαsβcγ−cαsγcβcγ⎤⎦⎥⎥

 

　　另一种姿态描述方式是绕自身坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕自身的Z轴旋转α

，然后绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转γ

，就能旋转到当前姿态。称其为Z-Y-X欧拉角，由于是绕自身坐标轴进行旋转，则旋转矩阵为：

 

RZ′Y′X′(α,β,γ)=RZ(α)RY(β)RX(γ)=⎡⎣⎢⎢cαcβsαcβ−sβcαsβsγ−sαcγsαsβsγ+cαcγcβsγcαsβcγ+sαsγsαsβcγ−cαsγcβcγ⎤⎦⎥⎥

 

　　可以发现这两种描述方式得到的旋转矩阵是一样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)

和绕自身坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)

的最终结果一样，只是描述的方法有差别而已。In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.

• Axis-Angle与四元数

　　绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某一转轴旋转一定的角度。假设等效旋转轴方向向量为K⃗ =[kx,ky,kz]T

，等效旋转角为θ，则四元数q=(x,y,z,w)

，其中：

 

xyzw=kx⋅sinθ2=ky⋅sinθ2=kz⋅sinθ2=cosθ2

 

　　且有x2+y2+z2+w2=1

 

　　即四元数存储了旋转轴和旋转角的信息，它能方便的描述刚体绕任意轴的旋转。

　　四元数转换为旋转矩阵：

 

R=⎡⎣⎢⎢⎢1−2y2−2z22(xy+zw)2(xz−yw)2(xy−zw)1−2x2−2z22(yz+xw)2(xz+yw)2(yz−xw)1−2x2−2y2⎤⎦⎥⎥⎥

 

 　　已知旋转矩阵为：

　　则对应的四元数为：

 

---

• 四元数与欧拉角的相互转换

　　定义两个四元数：

　　

　　

　　其中 表示矢量

；而

 

表示矢量

四元数加法：

　　跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来。

　　加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。

四元数乘法：

　　四元数的乘法的意义类似于矩阵的乘法，可以表示旋转的合成。当有多次旋转操作时，使用四元数可以获得更高的计算效率。

　　由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp，qp乘积的向量部分是：

　　

　　Mathematica中有四元数相关的程序包Quaternions Package，需要先导入才能使用。下面计算了三个四元数的乘积：

< 
  
　　计算结果为：Quaternion[-12, 4, 14, 2]
 
  
 
 
  
　　那么将Z-Y-X欧拉角（或RPY角：绕固定坐标系的X-Y-Z依次旋转α
 
  
,β,γ
 
  
角）转换为四元数：
 
  
 
 
  
q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cosγ200sinγ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢cosβ20sinβ20⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢cosα2sinα200⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢cosα2cosβ2cosγ2+sinα2sinβ2sinγ2sinα2cosβ2cosγ2−cosα2sinβ2sinγ2cosα2sinβ2cosγ2+sinα2cosβ2sinγ2cosα2cosβ2sinγ2−sinα2sinβ2cosγ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
 
  
 
 
  
 　　根据上面的公式可以求出逆解，即由四元数q=(q0,q1,q2,q3)
 
  
或q=(w,x,y,z)
 
  
到欧拉角的转换为：
 
  
 
 
  
⎡⎣⎢⎢αβγ⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢arctan2(q0q1+q2q3)1−2(q21+q22)arcsin(2(q0q2−q1q3))arctan2(q0q3+q1q2)1−2(q22+q23)⎤⎦⎥⎥⎥⎥
 
  
 
 
  
　　由于arctan和arcsin的取值范围在−π2
 
  
和π2
 
  
之间，只有180°，而绕某个轴旋转时范围是360°，因此要使用atan2函数代替arctan函数：
 
  
 
 
  
⎡⎣⎢⎢αβγ⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢atan2(2(q0q1+q2q3),1−2(q21+q22))arcsin(2(q0q2−q1q3))atan2(2(q0q3+q1q2),1−2(q22+q23))⎤⎦⎥⎥⎥
 
  
 
 
  
对于tan(θ) = y / x ：
 
  
　　θ = ATan(y / x)求出的θ取值范围是[-PI/2, PI/2]；
 
  
　　θ = ATan2(y, x)求出的θ取值范围是[-PI,   PI]。
 
  
 
   
 
当 (x, y) 在第一象限, 0 < θ < PI/2
 
 
   
 
当 (x, y) 在第二象限 PI/2 < θ≤PI
 
 
   
 
当 (x, y) 在第三象限, -PI < θ < -PI/2
 
 
   
 
当 (x, y) 在第四象限, -PI/2 < θ < 0
 
 
  
 
  
 　　将四元数转换为欧拉角可以参考下面的代码。需要注意欧拉角有12种旋转次序，而上面推导的公式是按照Z-Y-X顺序进行的，所以有时会在网上看到不同的转换公式（因为对应着不同的旋转次序），在使用时一定要注意旋转次序是什么。比如ADAMS软件里就默认Body 3-1-3次序，即Z-X-Z欧拉角，而VREP中则按照X-Y-Z欧拉角旋转。
 
  
enum RotSeq{zyx, zyz, zxy, zxz, yxz, yxy, yzx, yzy, xyz, xyx, xzy,xzx};
 
  
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　　 上面的代码存在一个问题，即奇异性没有考虑。下面看一种特殊的情况（参考Maths - Conversion Quaternion to Euler）：假设一架飞机绕Y轴旋转了90°（俯仰角pitch=90），机头垂直向上，此时如何计算航向角和横滚角？
 
  
 
  
　　这时会发生自由度丢失的情况，即Yaw和Roll会变为一个自由度。此时再使用上面的公式根据四元数计算欧拉角会出现问题：
 
  
　　arcsin(2(q0q2−q1q3))
 
  
的定义域为[−1,1]，因此(q0q2−q1q3)∈[−0.5,0.5]，当q0q2−q1q3=0.5时（在程序中浮点数不能直接进行等于判断，要使用合理的阈值），俯仰角β为90°，将其带入正向公式计算出四元数(q0,q1,q2,q3)，然后可以发现逆向公式中atan2函数中的参数全部为0，即出现了00
 
  
的情况！无法计算。
 
  
　　β=π/2
 
  
时，sinβ2=cosβ2=0.707
 
  
，将其带入公式中有
 
  
 
 
  
q=⎡⎣⎢⎢⎢⎢wxyz⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢0.707(cosα2cosγ2+sinα2sinγ2)0.707(sinα2cosγ2−cosα2sinγ2)0.707(cosα2cosγ2+sinα2sinγ2)0.707(cosα2sinγ2−sinα2cosγ2)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢0.707cosα−γ20.707sinα−γ20.707cosα−γ20.707sinα−γ2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
 
  
 
 
  
　　则xw=zy=tanα−γ2
 
  
，于是有
 
  
 
 
  
α−γ=2⋅atan2(x,w)
 
  
 
 
  
 　　通常令α=0
 
  
，这时γ=−2⋅atan2(x,w)
 
  
。可以进行验证：当四元数为(w,x,y,z)=(0.653,-0.271,0.653,0.271)时，根据这些规则计算出来的ZYX欧拉角为α=0°，β=90°，γ=45°
 
  
 
  
　　当俯仰角为-90°，即机头竖直向下时的情况也与之类似，可以推导出奇异姿态时的计算公式。比较完整的四元数转欧拉角（Z-Y-X order）的代码如下：
 
  
 
  
CameraSpacePoint QuaternionToEuler(Vector4 q) // Z-Y-X Euler angles
{
    CameraSpacePoint euler = { 0 };
    const double Epsilon = 0.0009765625f;
    const double Threshold = 0.5f - Epsilon;

    double TEST = q.w*q.y - q.x*q.z;

    if (TEST < -Threshold || TEST > Threshold) // 奇异姿态,俯仰角为±90°
    {
        int sign = Sign(TEST);

        euler.Z = -2 * sign * (double)atan2(q.x, q.w); // yaw

        euler.Y = sign * (PI / 2.0); // pitch

        euler.X = 0; // roll

    }
    else
    {
        euler.X = atan2(2 * (q.y*q.z + q.w*q.x), q.w*q.w - q.x*q.x - q.y*q.y + q.z*q.z);
        euler.Y = asin(-2 * (q.x*q.z - q.w*q.y));
        euler.Z = atan2(2 * (q.x*q.y + q.w*q.z), q.w*q.w + q.x*q.x - q.y*q.y - q.z*q.z);
    }
        
    return euler;
}
 
  
 
  
 
 
  
 
  
　　在DirectXMath Library中有许多与刚体姿态变换相关的函数可以直接调用：
 
  
 
   
四元数乘法：XMQuaternionMultiply method --Computes the product of two quaternions.
 
   
旋转矩阵转四元数：XMQuaternionRotationMatrix method --Computes a rotation quaternion from a rotation matrix.
 
   
四元数转旋转矩阵：XMMatrixRotationQuaternion method -- Builds a rotation matrix from a quaternion.
 
   
欧拉角转四元数：XMQuaternionRotationRollPitchYaw method --Computes a rotation quaternion based on the pitch, yaw, and roll (Euler angles).
 
   
四元数转Axis-Angle：XMQuaternionToAxisAngle method --Computes an axis and angle of rotation about that axis for a given quaternion.
 
   
欧拉角转旋转矩阵：XMMatrixRotationRollPitchYaw method --Builds a rotation matrix based on a given pitch, yaw, and roll (Euler angles).
 
   
Axis-Angle转旋转矩阵：XMMatrixRotationAxis method --Builds a matrix that rotates around an arbitrary axis.
 
   
构造绕X/Y/Z轴的旋转矩阵：XMMatrixRotationX method --Builds a matrix that rotates around the x-axis.(Angles are measured clockwise when looking along the rotation axis toward the origin)
 
  
 
  
 　　下面的代码中坐标系绕X轴旋转90°（注意这里不是按照右手定则的方向，而是沿着坐标轴向原点看过去以顺时针方式旋转，因此与传统的右手定则刚好方向相反），来进行变换：
 
  
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　　结果如下图所示:
 
  
 
  
 
 
  
参考：
 
  
quaternions.online
 
  
DirectXMath Library Quaternion Functions
 
  
Convert quaternion to euler rotations
 
  
Conversion between quaternions and Euler angles
 
  
Maths - Conversion Quaternion to Euler
 
  
Coordinate Transformations in Robotics—MATLAB
 
  
Introduction to Robotics - Mechanics and Control. Chapter 2 Spatial descriptions and transformations