Task1：随机事件与随机变量（1天）

Task1：随机事件与随机变量（1天）

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知识点

一.随机事件

1. 基本概念释义

• 随机现象:不能确定结果,但是能确定结果范围

• 随机试验:记为$E$,

  • 可以在相同条件下重复进行；
  • 结果有多种可能性，并且所有可能结果事先已知；
  • 作一次试验究竟哪个结果出现，事先不能确定.

• 样本空间:记为$\Omega$,随机试验的所有可能结果组成的集合

• 样本点:记为$\omega$,试验的每一个可能结果

• 随机事件:记为$A,B,C$,样本空间$\Omega$中满足一定条件的子集.随机事件在随机试验中可能出现也可能不出现.

• 必然事件:样本空间包含了所有的样本点,因此总是发生

• 不可能事件:空集$\varphi$不包含任何样本点

2.概率

1.定义：

• 随机试验$E$的样本空间为$\Omega$，对于每个事件$A$，定义一个实数$P(A)$与之对应，若函数$P(.)$满足条件：

  1. 对每个事件$A$，均有$0<P(A)<=1$;

  2. $P(\Omega )=1$;

  3. 若事件$A_1,A_2,A_3,...$两两互斥，即对于$i，j=1,2,...，i\ne j,A_i\cap A_j=\varphi$，均有
     $P(A_1\cup A_2\cup ...)=P(A_1)+P(A_2)+...$

则称$P(A)$为事件$A$的概率。

2.主要性质：

• 对于任一事件$A$，均有$P(\overline{A})=1-P(A)$.

• 对于两个事件$A$和$B$，若$A\subset B$，则有

​ $P(B-A) = P(B) - P(A), P(B) >P(A) $.

• 对于任意两个事件$A$和$B$，有

​ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

3.古典概型

设随机事件 $E$ 的样本空间中只有有限个样本点，即 $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,...,{\omega }_n\}$，其中， $n$ 为样本点的总数。每个样本点${\omega }_i(i=1,2,...,n)$出现是等可能的，并且每次试验有且仅有一个样本点发生，则称这类现象为古典概型。若事件 $A$ 包含个$m$ 个样本点，则事件 $A$ 的概率定义为：

$P(A) = \frac{m} {n} = \frac{事件A包含的基本事件数} {基本事件总数} $。

4.条件概率

• 定义：

设 $A$ 和 $B$ 是两个事件，且$P(B)>0$，称 $P(A|B) = \frac {P(AB)} {P(B)} $ 为在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率。

5.全概率公式和贝叶斯公式

• 概率的乘法公式：

  $P(AB)=P(B|A)P(A) =P(A|B)P(B) $

  • 如果事件组，满足
  1. $B_1,B_2,...$ 两两互斥，即$B_i\cap B_j=\varphi ，i\ne j,i,j=1,2,...$，且$P(B_i)>0,i=1,2,...$
  2. $B_1\cup B_2\cup ...=\Omega$

​ 则称事件组$B_1,B_2,...$是样本空间 $ \Omega$ 的一个划分。

• 全概率公式

  设$B_1,B_2,...$是样本空间 $ \Omega$ 的一个划分，$A$ 为任一事件，则

  ​ $P(A)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(B_i)P(A|B_i)$

  称为全概率公式。

  根据全概率公式和概率乘法公式，我们可以得到：

• 贝叶斯公式

  设$B_1,B_2,...$是样本空间 $ \Omega$ 的一个划分，则对任一事件 $A(P(A)>0)$ ,有

  ​ $P(B_i|A) =\frac {P(B_i A)} {P(A)} = \frac {P(A|B_i )P(B_i)} {\sum_{j=1}^{\infty }P( B_j)P(A|B_j)} ,i=1,2,… $

  称上式为贝叶斯公式，称$P(B_i)(i=1,2,...)$ 为先验概率，$P(B_i|A)（i=1,2,...）$为后验概率。

​ 在实际中，常取对样本空间 $\Omega$ 的有限划分 $B_1,B_2,...,B_n$ 。 $B_i$ 视为导致试验结果 $A$ 发生的“原因”，而$P(B_i)$ 表示各种“原因”发生的可能性大小，故称为先验概率；$P(B_i|A)$ 则反应当试验产生了结果 $A$ 之后，再对各种“原因”概率的新认识，故称为后验概率 。

二、随机变量

1.随机变量及其分布

• 随机变量定义：

  设 $E$ 是随机试验，$\Omega$ 是样本空间，如果对于每一个 $\omega \in \Omega $ 。都有一个确定的实数 $X(\omega )$ 与之对应，若对于任意实 $x \in R $ , 有 $ {\omega ：X(\omega) < x } \in F$ ，则称 $\Omega $ 上的单值实函数 $X(\omega )$ 为一个随机变量。

随机变量的分布函数定义：

​ 设 $X$ 是一个随机变量，对任意的实数 $x$ ，令
$$F(x)=P\{X<=x\},x\in (-\infty ,+\infty )$$
​ 则称 $F(x)$ 为随机变量 $x$ 的分布函数，也称为概率累积函数。

2. 离散型随机变量

​ 如果随机变量 $X$ 的全部可能取值只有有限多个或可列无穷多个，则称 $X$ 为离散型随机变量。掷骰子的结果就是离散型随机变量。

​ 对于离散型随机变量 $X$ 可能取值为 $x_k$的概率为：
$$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...$$
则称上式为离散型随机变量 $X$ 的分布律。

$$F(x)=P\{X<=x\}=\sum _{x_k<=x}P\{X=x_k\}=\sum _{x_k<=x}{P}_k$$

3.常见的离散型分布

1.伯努利实验，二项分布

• 定义：

  如果一个随机试验只有两种可能的结果 $A$ 和 $\overline{A}$，并且

$$P(A)=p，P(\overline{A})=1-p=q$$

其中， $0<p<1$ ，则称此试验为Bernoulli(伯努利)试验. Bernoulli试验独立重复进行 $n$ 次，称为 $n$ 重伯努利试验。

设
$$A=\{n重伯努利试验中A出现k次\}$$
则
$$P(A_k）=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,...n.$$
这就是著名的二项分布，常记作 $B(n，k）$。

解释：一共抽了 $n$ 次，$k(k<n)$ 次抽中了 $A$ ,概率为 $p$ ,那么 $n-k$ 次抽中了非 $A$，概率为 $1-p$ 组合的次数就是 $C_n^k$ 。所以 $P(A_k）=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,...n.$

• 分布函数：

若随机变量 $X$ 的分布律为：
$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,...n.$$
其分布函数为：
$$F（x）=\sum _{k=}^{[x]}{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,...n.$$
其中， $[x]$ 表示下取整，即不超过 $x$ 的最大整数。

4.随机变量的数字特征

1.数学期望

• 离散型：设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=x_i\}=p_i,i=1，2，...，$ 若级数 $ \sum_{i} {|x_i|p_i}$ 收敛，

  （收敛指会聚于一点，向某一值靠近，相对于发散）。则称级数 $ \sum_{i} {x_ip_i}$ 的和为随机变量 $X$ 的数学期望。记为 $E(X)$ ,即：

$$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i$$

• 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ,若积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f（x）dx$ 收敛， 称积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf（x）dx$ 的值为随机变量 $X$ 的数学期望，记为 $E(X)$ ,即：
  $$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf（x）dx$$
  $E(X)$ 又称为均值。

数学期望代表了随机变量取值的平均值，是一个重要的数字特征。数学期望具有如下性质：

1. 若 $c$ 是常数，则 $E(c)=c$ ;
2. $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ , 其中a, b为任意常数；
3. 若 $X,Y$ 相互独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$ ; （相互独立就是没有关系，不相互影响）。

2.方差

• 设 $X$ 为随机变量，如果 $E{ [X-E(X)]^2} $ 存在，则称 $E{ [X-E(X)]^2} $ 为 $X$ 的方差。记为 $Var(X)$ , 即：

$$Var（X）=E\{[X-E(X){]}^2\}$$

​ 并且称 $ \sqrt{Var(X)} $ 为 $X$ 的标准差或均方差。

方差是用来描述随机变量取值相对于均值的离散程度的一个量，也是非常重要的数字特征。方差有如下性质:

1. 若 $c$ 是常数，则 $Var(c)=0$ ;
2. $Var(aX+b) = a^2E(X) $ , 其中a, b为任意常数；
3. 若 $X,Y$ 相互独立，则$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$ 。

（3）协方差和相关系数

协方差和相关系数都是描述随机变量 $X$ 与随机变量 $Y$ 之间的线性联系程度的数字量。

• 设 $X,Y$ 为两个随机变量，称 $ E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]} $ 为 $X$ 和 $Y$ 的协方差，记为 $Cov(X,Y)$，即：
  $$Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$$
  协方差有如下性质：

  1. $Cov(X, Y) = Cov(Y, X) $ ;

  2. $Cov(aX+b，cY+d) =ac Cov( X，Y) $ ,其中， $a,b,c,d$ 为任意常数；

  3. $Cov(X_1+X_2，Y) =Cov( X_1，Y) +Cov( X_2，Y) $ ;

  4. $Cov(X，Y) =E( X，Y) -E( X)E(Y) $ ; 当 $X,Y$ 相互独立时，有 $Cov(X，Y)=0$;

  5. $|Cov(X，Y)| \le \sqrt {Var(X)} \sqrt {Var(Y)} $ ;

  6. $Cov(X，X) =Var( X) $ ;

• 当 $ \sqrt {Var(X)} >0 ，\sqrt {Var(Y)} >0 $ 时，称
  $$\rho （X,Y）=\frac{Cov(X，Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}$$
  为 $X,Y$ 的相关系数，它是无纲量的量（也就是说没有单位，只是个代数值）。

• 基本上我们都会用相关系数来衡量两个变量之间的相关程度。相关系数在-1到1之间，小于零表示负相关，大于零表示正相关。绝对值 $|\rho （X,Y）|$ 表示相关度的大小。越接近1，相关度越大。

# 阶乘
def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n <= 2:
        return n
    else:
        return n * factorial(n - 1)


# 排列计算
def arrangement(m, n):
    if m < n:
        return 0
    return factorial(m) // factorial(m - n)


# 组合计算
def combination(m, n):
    return arrangement(m, n) // factorial(n)


# 二项分布
# A = n重伯努利试验中A出现K次,P(A)
n = 10
k = 2
p = 0.5
p_A_k = combination(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
# 样本空间 omega = { B_1: p_1, B_2: p_2, B_3: p_3, ...}

omega = {"B_1": 0.1,
         "B_2": 0.2,
         "B_3": 0.7,
         }

A = {"B_1": 0.1,
     "B_2": 0.1,
     "B_3": 0.1,
     }
# 贝叶斯公式
P_A = 0
for key, value in A.items():
    P_A += omega[key] * value
P_B_1_A = A["B_1"] * omega["B_1"] / P_A
# 协方差
D_1 = {"1": 0.1,
     "3": 0.2,
     "4": 0.7,
     }
D_2 = {"2": 0.2,
     "3": 0.3,
     "5": 0.5
     }
def expect(d):
    tem = 0
    for key, value in d.items():
        tem += int(key) * value
    return tem
def Cov_X_Y(X, Y):
    tem = 0
    for x in X:
        for y in Y:
                tem += (int(x) - expect(X)) * (int(y) - expect(Y))
    return tem
print(Cov_X_Y(D_1, D_2))
# 协方差相关系数
def Var(X):
    tem = X.copy()
    for x in X:
        tem[x] = (x - expect(X)) ** 2
    return expect(tem)
P_D1_D2 = Cov_X_Y(D_1, D_2) / (Var(D_1) * Var(D_2))