计算机组成原理——浮点数的加减法

1. 浮点加减法的运算步骤

前面已讲到,浮点数经常被写成如下的形式：
　　　　　　　　X　=　Mx * 2Ex

其中Mx为该浮点数的尾数,一般为绝对值小于1的规格化的二进制小数,机器中多用原码（或补码）形式表示。Ex为该浮点数的阶码,一般为二进制整数,机器中多用移码（或补码）表示，给出的是一个指数的幂，而该指数的底常用2、8或16,我们这里先以2为底作例子进行讨论。

浮点加减法的运算步骤
　　假定有两个浮点数
　　　　　X　=　Mx * 2Ex ， Y　=　My * 2Ey

1. 实现X±Y运算,要用如下五步完成:
　　(1) 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求△E=Ex-Ey。当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。为减少误差,可用
　　另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用。

(2) 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作。

(3) 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数,对双符号位的补码尾数来说,就必须是001××…×或
　
　　110××…×的形式。这里的规格化处理规则是:
　　.当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。此时应使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。

.当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规。

(4) 舍入操作。在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。该方案的最大误差为2-（n+1）。这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。即舍入前尾数最低位已为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1。若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值。

(5) 判结果的正确性,即检查阶码是否溢出。浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加减运算真正结束前,要检查是否产生了溢出,若阶码正常，加(减)运算正常结束；若阶码下溢,要置运算结果为浮点形式的机器零,若上溢,则置溢出标志。

图2.21 规格化浮点加减运算流程

看一个浮点数加法运算的实例。
　　假定 X=2010 * 0.11011011, Y=2100 * (-0.10101100)则它们的浮点表示分别为
　　　　　　　　　阶符 　阶码 　数符 　尾数
　　　　　[X]浮 = 00 　　010 　　00 　11011011
　　　　　[Y]浮 = 00 　　100 　　11 　01010100
　　　　　　　　　　 补码 　　　　　补码

执行X+Y的过程如下:
　　（1）求阶差和对阶
　　　△ E = Ex-Ey = [Ex]浮 +[-Ey]浮 = 00 010 + 11 100 = 11 110即△E 为-2,
X的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2, 得[X]浮 = 00 100 00 00110110 11

（2）尾数求和
　　　　　00 00110110
　　　　+ 11 01010100
　　　　
　　　　　11 10001010 　　（3）规格化处理
　　结果的符号位与最高数值位同值,应执行左规处理,结果为11 00010101 10, 阶码为00 011。

（4）舍入处理
　　采用0舍1入法处理,则有
　　　　　11 00010101
　　　　+ 　　　　　1
　　　　
　　　　　11 00010110

（5）判溢出
　　阶码符号位为00.不溢出,故得最终结果为 X+Y = 2011 *(-0.11101010)

在尾数用补码表示时，规格化浮点数应满足尾数最高数位与符号位不同，如相同就是不满足规格化。

（6）尾数用双符号位补码表示，经过加/减运算之后，可能出现以下六种情况，即
① 00.1 x x … x
② 11.0 x x … x
③ 00.0 x x … x
④ 11.1 x x … x
⑤ 01.x x x … x
⑥ 10.x x x … x 第①、②种情况，符合规格化数的定义，已是规格化数。 第③、④种情况不是规格化数，需要使尾数左移以实现规格化，这个过程称为左规。尾
浮点数运算的的规格化
浮点数运算的的规格化
浮点数运算的的规格化
数每左移一位，阶码相应减 1，直至成为规格化数为止。
左规可以进行多次。

第⑤、⑥种情况在定点加减运算中称为溢出，但在浮点加减运算中，只表明此时尾数的 绝对值大于 1，而并非真正的溢出。这种情况应将尾数右移以实现规格化。这个过程称为右 规。尾数每右移一位，阶码相应加 1。
右规最多只有一次。

总结：左规处理，及时数往小数点左边走，阶码-1，右规反之。