玩转四旋翼无人机（四旋翼运动学简介）

四旋翼的建模

大部分多旋翼飞行平台是一个很简单的机器，包含四个独立的电机，电机固定于一个刚性的十字机架上。四旋翼的控制通过每个电机的推力实现。偏航的控制通过调整顺时针旋转电机和逆时针旋转电机的平均速度来实现。系统是欠驱动的，因此剩余的DOF对应于水平（XY平面）平移速度通过系统动力学控制。

刚体动力学

首先定义惯性坐标系 {A} 和机体坐标系 {B} ，假设 v∈{A} 表示 {B} 相对于{A}的速度， Ω∈{B} 表示{B}在{A}的角速度。 m 表示刚体的质量， I 表示刚体的惯量矩阵（中的表示）。所以基体的运动方程为

mv˙=mga+RF

R˙=RΩ×

IΩ˙=Ω×IΩ+τ

这里 Ω× 表示反对称旋转矩阵，满足 Ω×v=Ω×v ，另外 F,τ 表示电机的动力形成的非保守力和施加在机体上的力矩。

简单模型

旋转电机的稳态推力可以建模为

Ti:=CTρArir2iω2i

对于电机 i , Ari 是旋翼转动覆盖的面积， ri 为其半径， ωi 是角速度， CT 是推力系数，依赖于电机的几何尺寸和性能， ρ 是空气的密度，简化的模型为

Ti:=cTω2i

这里 cT>0 ，是一个常量，可以使用讲台推力测试得到。由此因为空气产生的反作用力矩可以建模为

Qi:=cQω2i

这里 cQ 依赖 Ari 和 ri 。
在一开始的近似中，假设电机的推力一直沿着Z轴。然而一旦电机开始旋转和平移之后，Rotor Flapping作用使得该假设不在成立。对于N电机飞机，从x轴正向逆时针标号电机 i∈{1...N} ，每个电机相对x轴（机体坐标系中）正向的角度 Φi 。
因此整体的推力为

TΣ=∑i=1N|Ti|=cT(∑i=1Nω2i)

因此旋转推力和外部力的主分量

F=TΣz+Δ

Blade flapping and induced drag

　前面提到的 de la Cierva 是在实践中发现这个问题的。他的模型旋翼机试飞很成功，但是全尺寸的旋翼机一上天就横滚翻，开始以为是遇到突然的横风，第二架飞机上天同样命运。de la Cierva 经过研究，发现模型旋翼机的桨叶是用藤条材料做的，有弹性，而全尺寸旋翼机的桨叶是刚性的钢结构，由此认识到桨叶的挥舞铰的必要性。具体来说，为了补偿左右的升力不均匀，和减少桨叶的疲劳，桨叶在翼根要采用一个容许桨叶载回转过程中上下挥舞的铰链，这个铰链称为挥舞铰（flapping hinge，也称垂直铰）。桨叶在前行时，升力增加，桨叶自然向上挥舞。由于桨叶在旋转过程中同时上升，桨叶的实际运动方向不再是水平的，而是斜线向上的。桨叶和水平面的夹角虽然不因为桨叶向上挥舞而改变，但桨叶和气流的相对运动方向之间的夹角由于这斜线向上的运动而变小，这个夹角（而不是桨叶和水平面之间的夹角）才是桨叶真正的迎角。桨叶的迎角在升力作用下下降，降低升力。桨叶在后行时，桨叶的升力不足，自然下垂，变旋转边下降造成桨叶和气流相对运动方向之间的夹角增大，迎角增加，增加升力。由于离心力使桨叶有自然拉直的趋势，桨叶不会在升力作用下无限升高或降低，机械设计上也采取措施，保证桨叶的挥舞不至于和机体发生碰撞。桨叶在环形过程中，不断升高、降低，翼尖离圆心的距离不断改变，引起科里奥利效应（这个东西谁都“知道”，但说清楚不容易。谁要是能把这个东西说清楚，鲜花奉上），就像花样滑冰运动员经常把双臂张开、收拢，以控制旋转速度。要是一个手臂张开，一个手臂收拢，就不可能在原地旋转，就要东倒西歪了。所以桨叶在水平方向也要前后摇摆，以补偿桨叶上下挥舞所造成的科里奥利效应。摆振铰利用前行时阻力增加，使桨叶自然增加后掠角（即所谓“滞后”，因为桨叶在旋转方向上的角速度低于圆心的旋转速度），这也变相增加桨叶在气流方向上剖面的长度，加强了减小迎角的作用；在后行时，阻力减小，阻尼器（相当于弹簧）使桨叶恢复的正常位置（即所谓“领先”，因为桨叶在旋转方向上的角速度高于圆心的旋转速度），当然也加强了增加迎角的作用，所以摆振铰（drag hinge 也称水平铰）也称领先-滞后铰（lead lag hinge）。挥舞铰和摆振铰是旋翼升力均匀的飞行平稳的关键。由于桨叶在旋转中容许上下挥动和前后摆动，这种桨叶称为柔性桨叶（articulated rotor）。除了用机械铰链容许桨叶在环形过程中相对于其他桨叶有一定的挥舞外，材质也必须具有弹性，这就是为什么直升机停在地面时，桨叶总是“耷拉”着的原因。但机械铰链磨损大，可靠性不好，德国 MBB（战时着名的梅塞斯米特就是 MBB 中的 M）用弹性元件取代了挥舞铰，研制成功无铰桨叶，第一个应用无铰桨叶的是 MBB Bo-105，中国曾进口一批，用于支援海上采油平台。
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