动态规划题目集合(python)

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题．这类题目技巧性较大，如果没有使用过动态规划，有时侯会觉得素手无策．动态规划问题需要找到状态和状态转移方程．困难的地方在于  状态如何描述  以及  状态转移方程如何定义

举个例子把～如果我们有面值为1元、２元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？

令d(i) = j表示状态，表示凑该i元最少需要j个硬币．如d(i=0) = 0个,d(i=1)=1个，d(i=２)=1个，d(i=３)=２个，d(i=４)=２个．．．

我们再看看什么是状态转移方程，描述状态之间是如何转移的．即d(i)如何根据前面ｉ－１个状态得到的．

比如ｉ＝５的情况，因为是要最小的硬币数，再拿一枚硬币就能到的可以是，d(i=4)+1个１块的，或者d(i=３)+1个２块的，或者d(i=０)+1个５块，因为前面状态都知道，所以呢d(i=５)＝min{2+1,2+1,0+1}=1

d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值.动态规划就是保留原来的路子，寻找最优的路子，为代码如下：

伪代码如下：

for j in range(0, K):

    d(j) 如何通过ｊ－１个状态得到(即状态转移方程)

总结：

1  明白何时用动态规划（最优解问题，特别是针对那种，昨天拍大腿定的东西都不作数，还会往前倒翻旧账）

2 如果可以用，2个步骤

第一步，确定状态的表达式

第二步，确定状态转移方程（可以暴力地把之前所有的转态都考虑上）

然后再顺便考虑以下终止条件之类的，但一般能确定状态转移方程，这题就没问题了。

1　丑数

题目描述

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

解题思路：这个用动态规划感觉就很好啦

终止条件：第N个丑数

状态：s[i] 第i个丑数

状态转移方程： s[i] = min(s[t1]*2 , s[t2]*3, s[t3]*5)。这个t1，t2，t3

这3个t怎么确定呢？从i-1往后倒腾，满足s[t1-1]*2小于等于s[i-1]但s[t1]*2大于s[i-1]

确定了之后敲代码把~~(代码还有很多可以优化的，但觉得这个可读性比较强，贴上自己的代码)

class Solution:
    def GetUglyNumber_Solution(self, index):
        if index<1:
            return 0
        if index==1:
            return 1
        s = []
        s.append(1)
        t1 = 0
        t2 = 0
        t3 = 0
        for i in range(1,index):            
            for j in range(i):
                if s[j]*2 > s[i-1]:
                    t1 = j
                    break
            for j in range(i):
                if s[j]*3 > s[i-1]:
                    t2 = j
                    break
            for j in range(i):
                if s[j]*5 > s[i-1]:
                    t3 = j   
                    break
            s.append(min(s[t1]*2,s[t2]*3,s[t3]*5))
            
        return s[-1]

 

2　Maximum Subarray（leetcode）

题目描述

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

（给定一个数组，求最大连续子段和）

解题思路：这个题  是dp经典题啦，将数组T第i个数最大的和定义为状态（不是整个数组最大的），这个和应不应该加前面的，加的话不能比自己本身的值还低。

直接状态转移方程把： :sum[i] = max(sum[i-1]+T[i], T[i])

最后返回最大的sun[i]

题比较简答，代码略。