说说概率的故事（二）

在上一篇说说概率的故事（一）中，我们聊了聊随机性，大家明白了绝对的随机性是很难实现的。接下来我们来聊概率。

Chance.jpg

概率一直以来是一个很让我头疼的概念，因为它的含义十分丰富，在不同场合都有区别。大家有空可以认真阅读维基百科上Probability interpretation这一词条。

普遍地讲，概率是一个事件发生可能性大小的度量。那么关键问题是，这个度量是客观的吗？换句话说，这个度量表达的是事物的固有属性，还是人们的主观推测？我们国内的教科书上都没有仔细讨论过这个问题，它们大都直接给出了概率的两个定义：统计定义和公理化定义，然后就让你开始算...算...算，所以我们根本没时间思考。

实际上，正如维基百科上所说，对概率的解释大体上分为两种：频率主义（Frequency probability）和贝叶斯主义（Bayesian probability），频率主义实际上就给出了概率的统计定义，概率＝频率在试验次数趋于无穷的极限。而在贝叶斯体系中，概率＝你相信某事件发生的程度。

当然还有更细的划分方式，这里给出维基百科中关于各种概率解释的总结：

interpretations of probability.png

可以看到，确实有主观的概率。实际上，在日常生活中我们经常用到主观概率。例如我们常说：“今天90%会堵车”、“我80%能通过考试”。当你在做出这样的推断时，甚至都没有数学计算，它完全基于你的经验和知识。主观性体现在，每个人的经验和知识可能是不同的，因此每个人的推断可能不同。

但是，贝叶斯概率不是一定等于主观概率。如果某种推断是基于一种知识体系，而这种知识非常普遍，普遍到“如果你不了解它你就没法推断，而所有了解它的人都一定会做出一致的推断”，那么我们可以认为这种贝叶斯概率是客观的，我姑且把这种概率称为基于普遍认知的贝叶斯概率。

著名的贝叶斯定理(Bayes' theorem)在这里也不得不提一下，它允许我们用新的认知来更新旧的推断。

Bayes'_Theorem.jpg

正如Wiki上的例子，已经知道一个人患癌症的概率，后来我们又获得了新的信息－－这个人65岁，这时，依据已有的几项统计数据，我们就可以对此人患癌症的概率做出更详尽的推断。

前面说了这么多，其实我想引出的一个核心问题是：在量子力学和统计力学中用到的概率应该符合哪种解释呢？

我认为它们是基于普遍认知的贝叶斯概率，如上面所表述的那样。当你求一个量子体系的波函数时，或者求一个热力学系统的Boltzmann分布时，你做的其实都相当于这样一件事情：根据普遍的物理知识和观测到的宏观量（在量子力学中如势能，在统计力学中如总内能、温度、压强等）做一个统计推断（Statistical inference），以求获取系统的信息。这个信息之所以表现为概率分布的形式，在量子力学中是因为物理规律蕴含本质概率性，而在统计力学中是因为我们对系统信息（普遍地）的匮乏，像第一部分说的那样。

（为什么要这么在意客观性？因为在科学中当概念都是客观的时候，我们才感到比较安全。）

因此，如果统计力学中的概率分布是客观的（这很重要，不然热力学熵的概念就很难立足），那就要求这种对系统信息的匮乏是十分普遍的。普遍到不管是地球人还是外星人，是有机生命还是机器人都一样才行。实际上我认为这很勉强。

最后，我们来说一下概率论和统计的关系。粗糙地讲，它们是相反的过程。当你已经知道系统的性质，来预测观测结果时，玩的是概率论。而通过一些观测结果，来推断系统的性质，玩的是统计。这里必须引用这张形象的图：

probability v.s. stat.jpg

在下一部分中，我们将讨论“信息”这一概念，会越来越有趣哦～