芝诺悖论和微积分

芝诺悖论的两分法：

      芝诺：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。

      假设此人速度不变，走一段的时间每次除以2，时间为实际需要时间的1/2+1/4+1/8+......，则时间限制在实际需要时间以内，即此人与目的地距离可以为任意小，却到不了。实际上是这个悖论本身限定了时间，当然到达不了。

芝诺悖论实例之追乌龟：

       阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！

      “乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”

芝诺悖论引发了第二次数学危机：

       芝诺悖论的错误在于他把无穷小等于零。在无穷小等于零之后，如何累加和累加，最终的结果当然是零，因此推断出“飞行矢量”是“固定的”。然而，真正的概念是无穷小只是接近零，无穷小“接近零”无穷小的累加，累加，就会有一个精确的值。

      芝诺悖论可能有更深刻的背景，不一定是数学，但在数学王国中引起了极大的骚动。他们表明希腊人已经看到了“无限小”和“非常小”之间的矛盾，但是由于他们“对无穷小的恐惧”和“追求严格的论证”，他们最终阻断了无穷小分析的路径。

微积分的产生：

       经过多年的辛勤劳动，终于在十七世纪下旬，微积分的形成——微积分这门学科。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基人。它们的优点主要在于：将各种相关问题的解统一为微分和积分方法；计算步骤明确；微分法和积分法的互操作。微积分是一种解决问题的重要工具，因为它的完整性和广泛的应用。与此同时，微积分基金会的问题也越来越严重。关键问题是无穷小竞争是否为零。无穷小及其分析是否合理？

       “微积分悖论”的出现，引起了数学界乃至哲学界一个半个世纪的争论，导致了第二次数学危机。

      从微积分悖论开始，人们开始尝试解决这一问题，包括达伦贝尔、阿贝尔、柯西、康托尔等。半个多世纪以来，随着微积分悖论的解决，建立了实数理论，建立了实数理论的极限理论，从而建立了微分理论。积分理论是建立在严格的实数理论基础上的。因此，微积分悖论促进了微积分理论的发展，巩固了微积分理论的基础，对数学的发展产生了深远的影响。