曲线与直线相切

已知函数\(f(x)=x-1+\frac{a}{e^x}，a\in R\)

\(1.\)若曲线\(f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线平行于\(x\)轴，求\(a\)的值

\(2.\)当\(a=1\)时，若直线\(l:y=kx-1\)与曲线\(f(x)\)相切，求\(l\)的方程

解答：

\(1.\)

\[f^{'}(x)=1-\frac{a}{e^x} \]

\[f^{'}(1)=0 \]

\[1-\frac{a}{e}=0 \]

\[a=e \]

\(2.\)

设切点为\((x_0,y_0)\)

\[f(x_0)=x_0-1+\frac{1}{e^{x_0}}=kx_0-1 \]

\[f^{'}(x_0)=1-\frac{1}{e^{x_0}}=k \]

\[x_0-1+\frac{1}{e^{x_0}}+1-\frac{1}{e^{x_0}}=kx_0-1+k \]

\[(k-1)(x_0+1)=0 \]

当\(k=1\)时

\[1-\frac{1}{e^{x_0}}=1 \]

不成立

当\(x_0=-1\)时

\[k=1-e \]

\[l:y=(1-e)x-1 \]