【转】图论与组合优化2002年的发展

http://www.sciencenet.cn/bbs/showpost.aspx?id=54797 图论与组合蓝皮书   图论与组合优化2002年的发展   （中国运筹学会图论与组合优化专业学术委员会）   2002年在图论与组合优化领域，中国大陆的研究人员（部分与国外的研究人员合作）取得了很多项研究成果。在基础理论方面，他们解决了一些猜想和公开问题，或者在一些重大问题上取得进展；在应用方面，他们除了在一些经典的研究方向继续开展和拓广研究范围以外，还投入到一些新的研究方向，特别是与信息科学技术相关的专题，并获得多项研究成果。   一、基础图论的若干问题   范更华通过引入边交换的方法，解决了具有二十年历史的Chung猜想，即证明了n点连通图可被(n+1)/2条路覆盖。另外他还通过新途径，完整地解决了起源于Erdos猜想的Bondy-Vince问题，即证明了对任意非负整数k及非二部的3-连通图，如果每个点的度数至少为3k，则该图含2k个相续长度的圈。与此同时范更华与徐宝刚合作研究了图的圈分解问题，证明了Hajos猜想在投影平面图上是成立的。   刘桂真，谢力同与龙和平等人给出了图有正交及随机正交(g,f)-因子分解的充分条件，解决了Alspach等人提出的问题以及与文件传输有关的问题。吴建良和刘桂真等人证明Akiyama，Exoo和Harary关于图的线性荫度的猜想对于一些复合图和完全正则多部图是成立的。   许宝刚讨论了图的循环团数与图的团数之间的关系，证明了如果一个图的所有导出子图具有相等的循环团数和团数，则这个图的导出子图一定不会是长度大于3的圈或其补图。他还给出了两个等价于完美图猜想的命题。     刘桂真等人给出了图的分数覆盖边染色的精确值并对图的覆盖边染色数的界给出了新的证明。吴建良和苗连英给出了一个简单连通图G的全色数和列表全色数都为D(G)+1若干充分条件。另外，他们还证明了：对于任意一个边着色临界图G，若最大度数D(G)³8，则有E(G)³3(V(G)+D(G)-8)。   徐俊明和徐克力研究并解决了点可迁图的限制边连通度问题。赖春晖给出了每个圈的长均为m的倍数且每个圈的长均不相等的图的最大可能边数的下界，他还刻画了蕴含K4-e可图序列。   二、    代数图论   图的minor理论是近代图论研究的中心问题之一。在我国很少有这方面的研究成果。国际上, 洪渊等人首先研究了图的minor与图的特征值之间的关系。其中，图的树宽度又是图的minor理论中的一个重要参数。他们给出了树宽度不大于k的所有图其谱半径的可达上界和达到上界的极图。同时对树宽度不大于k的所有图得到最小特征值的可达上界和达到上界的极图。另外，对于禁用K5–minor图给出了其谱半径的可达上界和达到上界的极图。同时对禁用K5–minor图得到了其最小特征值的可达下界和达到下界的极图。而对于t=n，n-1，n-2的禁用Kt–minor图给出了其谱半径的可达上界和达到上界的极图。   在研究了谱图理论及应用方面，张晓东和李炯生讨论了混合图的性质和图的拉普拉斯的矩阵的最大特征值的上界的估计，并刻画了达到上界的所有的图类。他们把图的拉普拉斯矩阵的研究推广到新的领域。在完全正则图的分解指数方向，解决了Berman和Kogan的关于完全正则图的问题。整图是指该图的Laplace特征值或邻接特征值都是整数；这类图的拓扑结构和它们的特征值存在着一些有趣的联系。远在1970年代，Harary和Schwenk提出研究整图的问题。但至今，这个问题仍没有完全解决。范益政和李炯生提出了新概念谱整性变化。谱整性变化是图的谱扰动的一种情形。它的提出为了解图的谱扰动，特别是构造整图提供了新的方法和视角。此后，他们用这种方法还讨论了度极大图，具有少数匹配数的树，以及混合图的谱扰动。另外，李炯生等人研究了经典Turan数t(Kr,r,n)在可图序列中的变形,确定了t(Kr,r,n)的度序列形式的极值å(Kr,r,n)，为研究极值图论的经典结果在可图序列中的变形问题提供了一个范例和研究方法。   张福基等人研究了谱半径小于 (图谱半径在实轴上的最小聚点)的连通图依谱半径大小的排序。他们首次引进了渐近序的概念，证明了所考虑的图类只存在渐进序。同时解决了一个无穷图类依谱半径排序的问题。他们还进而还考虑了上述结果在化学中的应用。另外，洪渊等人研究了如何用图的度序列确定图的Laplace谱半径的可达上界和达到上界的极图。   方新贵、王杰和徐明耀对于有限单群Cayley图的全自同构群的结构给予了刻画，证明了图的全自同构群或是几乎单的或有着极强的限制性结构。作为一个应用，他们还得到了一个有限单群Cayley图正规性的充分条件，并由此构造出了若干新的半传递图，其中两个图的无限族具有任意大的度数。另外他们还得到一个充分条件以使的有限非交换单群的Cayley图是弧正则的。据此他们构造了两个3度弧正则图的无限族使其全自同构群是非可解的，且其中一个无限族不是Cayley图。同时他们还证明了对大多数有限非交换单群决定的3度Cayley图均是正规的，并将此结果应用于群的图正则表示和3-CI性的刻画。   三、    超图理论   超图是有限集合的子集系统，是最一般的离散结构，在信息科学、生命科学等领域有着广泛的应用。由于实际的需要，信息科学家提出了无圈超图的概念，他们的定义不同于传统定义，二者相差甚远。2002年，我们国家在超图理论研究中取得了突破进展。王建方和李海珠得到了严格高维连通匀齐无圈超图的技术公式。该公式涵盖了图论中关于树的Cayley公式。Cayley公式是图论中经典公式之一，是Springer出版社1998年出版的“Proofs From The Book”一书中第22章的中心定理，书中称Cayley公式是“计数组合中最漂亮的公式之一”。该书是Paul Erdos生前建议写的一本书。Paul Erdos被誉为二十世纪最伟大的数学家之一。该书的前言说“P.Erdos喜欢读这本书，在这本书中上帝保存着数学定理的完美证明”。这就在理论上证明了信息科学家给出的无圈超图的定义是科学的、合理的。王建方和李东曾于1999年给出了超图实图空间维数的公式，他涵盖了图论中著名的Euler公式。在此基础上，王建方和李海珠2002年证明了当n充分大时，n阶（n-2）-匀齐超图，其实圈空间维数的最大值不在完全超图上达到。这是超图不同于通常图的一个重要特征。王建方和李海珠还给出了无圈超图的系列特征和有圈超图的系列特征。王建方和李海珠得到了无圈超图的边数公式。该公式也显示了信息科学家关于无圈超图定义的科学性。该公式在算法复杂性理论研究中会起重要作用。单志龙和柳伯濂提到严格非匀称线性超树的计数式。     四、    图论的应用   控制数是图论及组合最优化中一个非常重要的参数，它在网络，编码等领域有非常重要的应用。k-subdomination number是控制数理论中一个更一般化的参数。康丽英等人彻底解决了一个关于树的k-subdomination number的上界的猜想，并给出了一般图的k-subdomination number的一个好的上界。   广义本原指数是衡量网络信息传输效率的重要参数。指数问题的研究主要包括三个方面：确定其最大值，刻画达到最大值的网络(图)以及指数可以取得的数值。周波等人刻画了竞赛图两类广义本原指数可取得的数值，还得到竞赛图的一个有趣性质：当阶数充分大时，几乎所有竞赛图的任意两个不同顶点之间有长为2的有向路。他们还研究了极小强连通图的相应问题和扰动图的特征值的变化问题，刻画了达到最大值的网络(图)，并得到了扰动图与原图特征值之间的关系。   在图论于化学分子结构的分析方向，郭晓峰等人研究了苯系碳氢化合物所对应的化学分子图类的拓扑性质和拓扑不变量的计算方法。他们讨论了一般的苯系统边界码的唯一性，并发现非平面苯系统的边界码不能唯一地确定它所对应的苯系统，证明了最小的具有相同边界码的不同构的非平面苯系统有25个六边形。另外，他们还研究了苯系统的线性独立极小共轭圈多项式的递归计算方法。得到了树状苯系统和某些结构相关的非树状苯系统的线性独立极小共轭圈组合计数的递归公式。这项成果可用于计算苯系碳氢化合物分子共振能。   1985年Kroto等合成了具有高度对称的物质C60，引起科学界的震动。能反映碳族物理化学性质的结构和指标的研究因而受到极大重视。分布于球面仅由六边形和五边形构成的分子图称为Fullerene图。张和平与张福基等人通过研究发现了Fullerene图的2-可扩张性，给出了完美匹配的个数的已知最好下界；计算出了C60的Clar结构等的计数，纠正了El-Basil的结果。对于平面二部图，证明了共振形的个数不大于完美匹配的个数，并得到它们相等的充要条件。   非负方阵的Perron向量在社会网络中有着应用，洪渊等人给出了Perron向量分量的最大值的可达上界和达到上界的极图。此外，图的L(2,1)标号是图的点着色的一种推广，它在无线电频率资源的优化配置中有着重要的应用。邵振东和刘家壮给出了n-格图和n-B-格图的L(2,1)标号数。   徐俊明的英文专著《Topological Structure and Analysis of Interconnection Networks》第一次系统地阐述和总结了计算机通讯网络中的图论问题和研究进展，为今后进一步开展组合网络理论研究奠定了基础。   五、组合最优化的理论   高随祥、堵丁柱和胡晓东等人研究了计算布尔函数的计算复杂性，特别是Rivest-Vuillemin猜想：任何非平凡单调弱对称布尔函数都是elusive函数。这是基于判定树模型的计算复杂性理论中的最重要的未解问题，已有三十年左右的历史。现在已经证明该猜想对于具有素数的幂个变量的布尔函数是正确的。他们先后证明了该猜想对于有6，10和12个变量的布尔函数都是正确的。   六、组合最优化问题的算法设计和分析   半在线排序是一种部分或者是说在不完全信息下的在线排序。何勇和谈之奕等人研究了如何利用部分信息，设计比在线算法近似性能比更好的半在线算法。他们讨论了多个半在线问题的最优近似算法的设计，其中包括P|Ordinal online|Cmin问题，得到了一般机器数时最优近似算法。这是半在线排序研究中首次得到一般机器数下最优半在线算法。带机器准备时段的平行机排序自上世纪90年代出现以来，得到了多位国内外学者的研究。2002年谈之奕和何勇提出并研究了带维修时段的两台平行机在线排序，目标为极小化最大机器完工时间。他们得到了最优在线近似算法。   原晋江等人研究了一台机器带约束的序列批处理排序问题，目标是极小化最迟完工时间，证明了该问题可以在多项式时间内找到最优解。另外，他们还研究了在一台机器上工件要经过多次加工处理的排序问题，目标是极小化工件完工时间之和，证明了即使在每一道工序的处理时间不是0就是1的简单情况下，该问题仍然是强NP难解的。以上这两个结果分别解决了两个未解的公开问题。   唐国春等人研究了当一种资源可以再利用时，带资源约束的项目排序问题，也称为离散时间和人力资源平衡问题。这个问题有很多实际应用背景，例如建筑工程中的劳动力合理使用和软件开发项目中的程序员的分配问题。为求解此问题，他们先引入一棵树，它的每个节点表示一种可能的选择，然后给出了几种基于束搜索的启发式算法。   徐寅峰等人给出凸多边形内含可移动点的三角剖分中多个优化指标间的联系，并给出启发式生成最优性剖分近似算法。该算法的时间、空间计算复杂度分别为O(n2log n)和O( n)。徐寅峰等人改进了双圆标点问题的已有结果，将最小半径从0.5931提高到2/3。徐寅峰和马卫民等人探讨了快餐店在线备货问题和合作博弈问题。   ls-几何意义下的Steiner 树问题，因为它有强的实际背景,如沿多个固定方向的印刷电路板布线问题，几年来得到较多研究。国际上对σ=2,3,4时已有不少结果，而对σ=5时尚未看到有发表的成果。陈光亭和姚恩瑜对σ=5时Steiner树的结构特征进行了研究和论证。给出l5-几何中4个点的Steiner最小树的特征，然后证明了对于l5-几何中的给定点集P，必有P的一个Steiner最小树，其Steiner点在P的前é2n/3ù代格点中。   组合优化中的很多经典问题都是NP难解的，如何用求解数学规划(尤其是整规划)中的有效算法来得到组合优化问题的多项式近似方案是倍受关注的工作。1995年，半定松弛策略被首先用来求解一些组合优化问题，并由此引起大家对这一松弛思想的兴趣。2002年陈峰和姚恩瑜对经典的箱覆盖问题，多重背包问题等用半定松弛方法求解进行了深入的研究。   李国君等人研究了计算机科学领域中产生的一个研究课题：给定两个字符(基因)串的集合，一个被视为好的字符串构成的集合G ={g1, … , gm}以及一个被视为坏的字符串构成的集合B={b1, … , bn}，给定两个整数db和dg。要求一个字符串s同时满足两个不等式,max{dH(s,bi)}≤db和min{dH(s,gj)}≥dg。他们设计出了求解这个问题的多项式近似方案，该方案对字母集合的规模没有任何限制。   胡晓东和堵丁柱等人研究了光纤通讯网络设计和应用中产生的几个组合优化问题，其中包括多播通讯的路由和波长分配问题，基于多路径路由模型的多播传输问题和波长转换器放置等问题。他们证明了这些问题都是NP难解的，并都分别给出了具有常数近似比的近似算法。另外，他们的英文专著《Multiwavelength Optical Networks》用组合优化的方法和观点系统地阐述和总结了光纤通讯网络中的若干应用基础理论问题和最新的一些研究成果。   （胡晓东执笔）   作者简介  胡晓东，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，中国运筹学会图论组合分会理事长。主要从事运筹学中的离散最优化，网络优化设计与分析和组合搜索等方向的研究。地址：中国科学院数学与系统科学研究院应用数学所，邮编 100080；电话：10-62639192  电邮：[email protected] 参考文献 (这里的参考文献提供给了中国科协；仅包括收集的国外期刊发表的文章。)   [1]. 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