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矩阵分解的作用

本篇文章时对下面材料的总结：

https://web.ma.utexas.edu/users/gilbert/M340L/LA07MatrixDecompositions.pdf

矩阵分解的定义：

  • 把一个矩阵表示成多个矩阵连乘的形式。

矩阵分解主要有两个作用：

  • 分解后的每个小矩阵能够更容易的求逆
    • 加入我们有上面这样一个分解，这个叫LDU和LU分解。也就是分解为下三角，对角和上三角矩阵
    • 被分解出来的三个小矩阵的逆都很容易求得，利用(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}，最后可以求得矩阵的逆是如下
  • 分解后的每个小矩阵有特殊的物理意义
    • 一个2×2的矩阵可以用来表示平面内的Affine变换，当我们把一个2×2矩阵分解成三个因子后。
    • 上下三角矩阵表示对x和y轴做shear的变换。
    • 对角矩阵表示对x，y轴做scale变换。
    • 也就是任意平面上的Affine变换，可以分解上三步：先做x轴shear变换，再scale，再对y轴做shear
  • 一个稀疏的矩阵分解为多个Dense的小矩阵
    • 这个过程也是从一个大杂烩混合的表象中，提取一些内在关系的过程。Dense的小矩阵能够更有效率的存储信息。

怎么进行LU分解呢，假设要分解的矩阵是A

  • 先使用高斯消元把A变成上三角形式，这个就是U矩阵了。
  • L=AU^{-1}可以求得L，U^{-1}是很容易求得的

常用矩阵分解

  • LDU：上三角矩阵，对角矩阵，下三角矩阵
  • QR：正交矩阵，上三角矩阵
  • Cholesky：下三角矩阵，下三角矩阵的共轭转至
  • SVD：A^TA的特征向量矩阵，奇异值矩阵，AA^T的特征向量矩阵

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