电磁场微波:一. 电磁场

1. 电磁场

形象的旋度散度描述-知乎
旋度散度描述-知乎
物理中引入旋度散度的作用
数学中 e 的由来

1. 大纲

通量是和散度联系在一起的,环量(也就是环流量)是和旋度联系在一起的。

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这些向量,既有大小,又有方向,那么他们是不是有移动的趋势呢?既然移动,就肯定会通过这条曲线L,那么有的朝着外面通过,有的朝着里面通过,那么就会相互抵消,于是我们就运用微积分的思想,整理出了如下的通量公式:
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我们把这一段曲线分成无数小段,近似于一小段直线,那么这一小段长度为ds,n是这一小段直线的单位法向量,方向根据其顺时针运动还是逆时针运动有关,那么每一小段上向量F在法向量上的分量(F·n)乘以这一小段的距离ds,然后加起来就是这一小段曲线的通量。到这里,题主脑海中应该形成一个数学直觉就是,通量,就是通过的量!那么通量这个东西为什么说和散度联系在一起呢?回顾怎么求一点的散度:设二维平面上一点处的向量F=P(x,y)i+Q(x,y)j,那么这一点的散度为:
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但是凭什么说向量沿x轴和y轴的分量的偏导数就是散度?想象一下:当一点处向量分量沿各自方向的偏导数的和为正时,说明这一点处的向量,非常讨厌这一点,想要迫切的离开这一点,正数越大离开的想法越强烈;当为负时,说明这一点的向量很喜欢这一点,他虽然不愿意离开,但是奈何人家要赶他走,于是他走的脚步很慢,负数越大留下的愿望越强烈;当为0时,这一点的向量对这一点没有任何感觉,你要我走,那我就走咯,不紧不慢的保持着原有的样子。所以散度,在脑海中可以形成的直觉就是,这一点的向量离开这一点的愿望的强烈程度。

一个封闭的城市爆发了丧尸病毒(封闭曲线),城市中所有的人都用各种方式逃离这个城市(不得不离开自己的家园),有的人早就厌烦这个破地方,跑的飞快(散度为正),有的人热爱自己的家园,舍不得离开(散度为负),人心险恶,逃跑方向相反的人相遇时,会互相残杀争夺资源(不同点的散度会相互抵消),最后总有一部分人会成功的通过这个城市的边界(通量),逃离这个城市。这个例子虽然不太恰当,但是我想应该该能帮助大家建立散度和通量联系的直观直觉,内部你们怎么争夺是极其复杂的,我不管,我只用看看最后有多少人通过边界就行了。散度和通量的联系是否就是应该这么直观呢?当然这里我们要用数学的语言来描述散度和通量的关系,大家还记得可恶的高斯公式吧,不过那是描述三维曲面的,在二维平面上,一个封闭曲线的高斯公式长这样
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首先这个平面上各点的向量为F=P(x,y)i+Q(x,y)j,那么式子左边就是这个平面各个点散度的积分,根据我们之前建立的联系,他应该等于这条曲线的通量的积分,关键的问题来了,我们怎么求这条曲线的通量?也就是说,式子右边我是怎么写出来的?首先我们把这个封闭曲线无限分割,最后会得到一条直线:

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