计算机二进制
计算机二进制
- 背景
- 二进制
- 机器数
- 真值
- 原码
- 反码
- 补码
- 为什么要用到反码和补码
- 一、使用原码运算：
- 二、使用反码运算：
- 三、使用补码运算：
- 总结
- 原码, 反码, 补码 再深入
背景
- 计算机底层是二进制数进行计算和存储，因此底层只有0和1
- 计算机底层在计算的时候，只做一件事：相加，并且是二进制数的相加，也就是满2进1
二进制
由0和1构成的数
如：3的二进制为11，100的二进制为110 0100
机器数
计算机中的数是二进制的，这个二进制数为机器数。机器数是带符号的，
在计算机中用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1
以单字节8位为例（1byte=8bit）：
+3的机器数为0000 0011
-3的机器数为1000 0011
+100的机器数为0110 0100
-100的机器数为1110 0100
真值
因为机器数的第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值（对于负数）
如上面的数字：
+3的机器数为0000 0011，真值为3
-3的机器数为1000 0011，真值为-3，而不是131
+100的机器数为0110 0100，真值为100
-100的机器数为1110 0100，真值为-100，而不是228
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。
比如如果是8位二进制：
+3的原码为0000 0011
-3的原码为1000 0011
第一位是符号位。所以8位二进制数的取值范围就是:
1111 1111 ~ 0111 1111
即：-127 ~ 127
原码应该就是机器数
反码
反码的表示方法是：
正数的反码是其本身。
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+3] = [0000 0011]原 = [0000 0011]反
[ -3] = [1000 0011]原 = [1111 1100]反
补码
补码的表示方法是：
正数的补码就是其本身。
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(即在反码的基础上+1)
[+3] = [0000 0011]原 = [0000 0011]反 = [0000 0011]补
[ -3] = [1000 0011]原 = [1111 1100] 反 = [1111 1101]补
为什么要用到反码和补码
- 计算机底层的运行，其实只是加法运算
- 加、减、乘、除，其实最后都可以转成加法（通过正负数）
- 在二进制中不写±，而是在二进制数字的首位表示正负号，在进行运算时，正负号位其实也参与了运算
但是，如果用原码和反码进行加法运算时，结果是有问题的，如下：
一、使用原码运算：
计算十进制的表达式: 3-3=0
3-3
= 3+(-3)
= [0000 0011]原 + [1000 0011]原
= [1000 0110]原
= -6
可见，在正负号参与计算的同时，其结果是不正确的！
二、使用反码运算：
计算十进制的表达式: 3-3=0
3-3
= 3+(-3)
= [0000 0011]原 + [1000 0011]原
= [0000 0011]反 + [1111 1100] 反
= [1111 1111] 反
= [1000 0000]原
= -0
可见，真值部分虽然正确，但是出现了0和-0的情况，对应的二进制是[00000000]和[10000000]，那这个结果其实还是不完全正确的！
三、使用补码运算：
计算十进制的表达式: 3-3=0
3-3
= 3+(-3)
= [0000 0011]原 + [1000 0011]原
= [0000 0011]反 + [1111 1100] 反
= [0000 0011]补 + [1111 1101] 补
= [0000 0000]补
= [0000 0000]原
= 0
计算十进制的表达式: 3-4=-1
3-4
= 3+(-4)
= [0000 0011]原 + [1000 0100]原
= [0000 0011]反 + [1111 1011] 反
= [0000 0011]补 + [1111 1100] 补
= [1111 1111] 补
= [1111 1110] 反
= [1000 0001]原
= -1
可见，这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了。
而且可以用[1000 0000]表示-128：
(-1) + (-127)
= [1000 0001]原 + [1111 1111]原
= [1111 1110] 反 + [1000 0000]反
= [1111 1111] 补 + [1000 0001]补
= [1000 0000]补
总结
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)。
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
原码, 反码, 补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:
1.往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2.往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
3.往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4
2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4, 16, 28关于模 12 同余
转自这里