时间序列的预处理——平稳性检验（一）

本文为本科课程笔记
原创思路是老师的~~
不知道会不会侵犯啥权益，所以声明一下~~
用作记录~~

2.1 平稳性检验

一 、概率分布与特征统计量

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$$X_t,t=1,2,\cdot \cdot \cdot ，t$$

• 在描述一个随机变量时是用

  • 分布函数$F(x)$
  • 特征统计量: 期望$E(X_t)$，方差$D(X_t)$
  • 自协方差 ${\gamma }_k$
  • 滞后 $k$ 阶的自相关系数 ${\rho }_k$

  进行描述
  

• 之前学的协方差和相关系数描述的是两个不同的随机事件之间的相关性。
  现在这个自协方差和自相关是一个变量在不同时期的相关性。

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二、平稳时间序列的定义

• 严平稳：所有统计量都不随时间推移而变化（好多阶矩）
• 宽平稳（弱平稳）：它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶，一阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。
• 宽平稳无法推出严平稳，但是严平稳可推出宽平稳（条件是有一阶矩和二阶矩）。

三、平稳时间序列的统计性质

• 常数均值
• 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关
• 延迟 $k$ 自协方差函数
  $$\gamma (k)=\gamma (t,t+k),\forall k为整数$$
• 延迟 $k$ 自相关系数
  $${\rho }_k=\frac{\gamma (k)}{\gamma (0)}$$

自相关系数的性质

• 规范性 $$\rho =1,且|{\rho }_k|\le 1,\forall k$$

• 对称性 $${\rho }_k={\rho }_{-k}$$

• 非负定性$${\Gamma }_m=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_0& {\rho }_1& \cdots & {\rho }_{m-1}\\ {\rho }_1& {\rho }_0& \cdots & {\rho }_{m-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\rho }_{m-1}& {\rho }_{m-2}& \cdots & {\rho }_0\end{array}\right)$$

• 非唯一性
  一个平稳时间序列一定唯一决定了他的自相关函数，但一个自相关函数未必唯一对应着一个平稳时间序列。

四、平稳时间序列的意义

• 在平稳序列场合，序列的均值等于常数，这意味着原本含有可列多个随机变量 的均值序列变成了只含有一个变量的常数序列。
  $$\{{\mu }_t,t\in T\}\Rightarrow \{\mu ,t\in T\}$$
• 原本每个随机变量的均值（方差，自相关系数）只能依靠唯一的一个样本观察值去估计，现在由于平稳性，每一个统计量都将拥有大量的样本观察值。
• 这极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估变量的样本容量。极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对特征统计量的估计精度。

五、平稳性的检验（图检验方法）

• 时序图检验
  根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征
• 自相关图检验
  平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零