协方差矩阵和相关矩阵的关系

 

1、协方差矩阵

 

     协方差是衡量两个随机变量的相关程度。

    随机变量之间的协方差可以表示为

 

                                                           （2）

 

     根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下：

 

                                               （3）

 

    可以进一步地简化为：

                                                             （4）

    协方差矩阵： 

 

 

     说明：

 

    （1）协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素C_ij就是反映的随机变量X_i, X_j的协方差。

      （2）协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。

    （3）求协方差矩阵的matlab函数：cov

 

 

 2、相关矩阵

 

   

 

    相关系数：

 

    著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

    依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

    相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为：

　　                  

　　相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

• 当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。
• 当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
• 当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
• 当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。
• 一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。

    相关矩阵也叫相关系数矩阵，是由矩阵各列间的相关系数构成的。也就是说，相关矩阵第i行第j列的

 

元素是原矩阵第i列和第j列的相关系数。

 

    求取相关矩阵的matlab函数为：correoff

 

 

3、协方差矩阵和相关矩阵的关系

   

    由二者的定义公式可知，经标准化的样本数据的协方差矩阵就是原始样本数据的相关矩阵。这里所说

的标准化指正态化，即将原始数据处理成均值为0，方差为1的标准数据。

    即：

                                     X'=(X-EX)/DX

 

    用matlab函数表达为：  

 

                                     X'=zscore(X)

 

    则协方差矩阵和相关矩阵的关系可表达为：

 

                           correoff(X)=cov(zscore(X))