通信原理day6：均值，方差，相关函数；正交基；功率谱密度；线性系统输出的数字特征；匹配滤波器，最大输出信噪比

1.均值，方差，相关函数

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求信号x(t)的均值E[x(t)]

x(t)的参量一般除了时间t，还会有另一个随机变量A
下面分情况讨论：
(1)x(t)=s(t)*A–随机变量A在t的函数s(t)的外部
此时，s(t)不含有随机变量，s(t)的均值等于其自身，E[s(t)]=s(t)
∴

(2)x(t)=s(t,A)–随机变量A包含在t的函数s(t)的内部
此时需要使用均值公式本身计算
∴

注：
p_A(A)是随机变量A的概率密度函数

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方差：

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相关函数R_x(t)：

又或者

若x(t)的均值E[x(t)]为常数,与t无关，自相关函数只与时间差有关，则x(t)是平稳随机过程。

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2.正交基

如果函数组满足条件

则该函数组是一组标准正交基。

如何用正交基表示函数x(t)?

其中：


注：
[0~ T_S]是正交基的取值范围

3.功率谱密度

信号x(t)的功率谱密度就是它的自相关函数R_X(tao)的傅里叶变换

4.线性时不变系统的主要数字特征

若输入的随机信号是平稳的高斯过程，则线性时不变系统的输出也是平稳的高斯过程。

若输入信号为x(t)，经过系统h(t)后，输出信号为y(t)，则

线性系统输出的均值

若输入信号x(t)为平稳随机信号，其均值为E[x(t)]=m~X~常数，则

线性系统输出的功率密度谱

线性系统输出的功率（输出信号的方差）

若输入信号x(t)的功率谱密度PX(f)是常数PX，则

5.匹配滤波器

匹配滤波接收是输出信噪比达到最大意义上的最佳接收。

信号s(t)的匹配滤波器的冲激响应

时间参数t0的选择(相对码元周期T)：
t0＜T:此时系统物理不可实现
t0＞T:在一个实际系统中，时延加大，且可能会影响对连续输入的码元的判决
t0=T:输出的信噪比达到最大。因此一般匹配滤波器时间参数t0选择t0=T

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匹配滤波器的最大输出信噪比SNRmax

由上面的式子可知，输入信号为s(t)，匹配滤波器的冲激响应h(t)=ks(T-t)，输入信号的噪声的功率是NS时，(具体推导过程见书本p44)
输出信号s₀(t)的最大值s₀(t₀)

输出信号的功率最大值为s₀(t₀)²

最大输出信噪比

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