线性代数学习笔记（三）——行列式的性质

本篇文章首先引入行列式转置的概念，然后逐一给出了行列式的七个基本性质，需要注意的是：对行成立的性质对列也同样成立。最后强调了性质7的重要性，并总结了在做题过程中的规范和注意事项。

1 转置

将行列式的行做成列，转置记作：$D^T$或$D^{’}$（T表示Transformers）。
$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\\ 8& 8& 8\end{array}\right|$

$D^T=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 2& 1& 8\\ 3& 1& 8\end{array}\right|$

对行列式转置之后再转置等于原行列式，即$(D^T{)}^T=D$。可以发现，对行列式求$2n(n\ge 1)$次转置仍然等原行列式。

2 性质

2.1 性质1

行列式转置，值不变，即$D^T=D$（对行成立的性质对列也成立）。

举例：
$D=\left|\begin{array}{cccc}①& 2& 3& 4\\ 1& 1& 1& ⑥\\ 2& ⑧& 8& 8\\ 9& 9& ⑨& 3\end{array}\right|$

行列式$D$中$①⑥⑧⑨$项的行标为4级标准排列$1234$，列标排列为$1423$，所以为该项使用第一种定义展开：$(-1{)}^{N(1432)}1\times 6\times 8\times 9$。

$D^T=\left|\begin{array}{cccc}①& 1& 2& 9\\ 2& 1& ⑧& 9\\ 3& 1& 8& ⑨\\ 4& ⑥& 8& 3\end{array}\right|$

转置行列式$D^T$中$①⑥⑧⑨$项的行标排列为$1423$，列为4级标准排列$1234$，所以为该项使用第二种定义展开：$(-1{)}^{N(1432)}1\times 6\times 8\times 9$。

不难发现，行列式$D$和其转置行列式$D^T$中的$①⑥⑧⑨$项的值相同，可以推出，其他各项值也会完全相同，故$D^T=D$。

2.2 性质2

行列式两行互换，值变号。

举例（交换行列式$D_1$中的1、3行变成行列式$D_2$）：
$D_1=\left|\begin{array}{cccc}1& ②& 3& 4\\ 5& 6& ⑦& 8\\ 9& 10& 11& ⑫\\ ⑬& 14& 15& 16\end{array}\right|$

行列式$D_1$中$②⑦⑫⑬$项的行标排列为4级标准排列$1234$，列标为$2341$，所以为该项使用第一种定义展开：$(-1{)}^{N(2341)}2\times 7\times 12\times 13$。

$D_2=\left|\begin{array}{cccc}9& 10& 11& ⑫\\ 5& 6& ⑦& 8\\ 1& ②& 3& 4\\ ⑬& 14& 15& 16\end{array}\right|$

行列式$D_2$中$②⑦⑫⑬$项的行标排列为$3214$，列标排列为$2341$，所以为该项使用第三种定义展开：$(-1{)}^{N(3214)+N(2341)}2\times 7\times 12\times 13$。

不难发现，行列式$D_1$和行列式$D_2$对于$②⑦⑫⑬$项差一个$(-1{)}^{N(3214)}$因数，而$N(3214)=2+1+0+0=3$是一个奇排列，故该项相差一个负号，同理可以推出，其他各项也相差一个负号，所以$D_1=-D_2$。

2.3 性质3

行列式两行（或两列）对应相等，行列式等于零。

举例（交换行列式$D_1$中的1、3行变成行列式$D_2$）：
$D_1=\left|\begin{array}{cccc}②& ③& ④& ⑤\\ 1& 0& 0& 0\\ (2)& (3)& (4)& (5)\\ 8& 8& 8& 1\end{array}\right|$

$D_2=\left|\begin{array}{cccc}(2)& (3)& (4)& (5)\\ 1& 0& 0& 0\\ ②& ③& ④& ⑤\\ 8& 8& 8& 1\end{array}\right|$

由于行列式第1行和第3行相等，所以交换之后仍然和原行列式完全一样，即：$D_1=D_2$，但根据性质2可知：$D_1=-D_2$，所以：$D_1=-D_1$，推出：$2D_1=0$，即：$D_1=0$。

2.4 性质4

行列式$D$某一行（或列）元素都乘以数$k$，等于用$k$乘以行列式$D$。

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4k& 5k& 6k\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$

推论：
行列式某一行（或列）都有公因子$k$，则$k$可以提到外面去。

注意：如果$n$阶行列式所有元素均有公因子$k$，则可以提$k^n$到外面去。

$\left|\begin{array}{ccc}1k& 2k& 3k\\ 4k& 5k& 6k\\ 7k& 8k& 9k\end{array}\right|=k^3\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$

2.5 性质5

行列式两行（或两列）对应成比例，行列式等于零。

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\\ 8& 8& 8\end{array}\right|$

上述行列式第3行是第2行的8倍，即：

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\\ 1\times 8& 1\times 8& 1\times 8\end{array}\right|=8\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

根据性质3可知，行列式两行对应相等，行列式的值为零。

推论：
行列式某一行（或列）全为0，则行列式等于零。

$\left|\begin{array}{ccc}x& x& x\\ 0& 0& 0\\ x& x& x\end{array}\right|=0$

1、可以根据性质4推论进行理解，即提取公因子0，则0提到外面后乘以行列式肯定等于0；
2、还可以根据行列式展开的定义来理解，展开项不同行不同列取到的元素肯定会包含0，所以行列式必然等于零。

性质3可以理解为性质5的特例，即两行（列）对应相等可以看成比例为1。

通过以上几个性质可知：
① 行列式两行（列）对应成比例；
② 行列式两行（列）相等；
③ 行列式某行全为0。
可以推出行列式等于零。

那么反过来，如果行列式等于0，是否上述三个条件必有一个成立呢？
答案是否定的。

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=0$

后面通过性质7可以验证。

2.6 性质6

行列式某行（列）如果是两个数之和，则此行列式可以表示两个行列式相加。

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7+8& 2+3& 9+10\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 2& 9\\ 7& 8& 9\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 8& 3& 10\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$

举例：
$\left|\begin{array}{ccc}b+c& c+a& a+b\\ a+b& b+c& c+a\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right|$

解：原式$$\begin{gathered} =\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ a+b& b+c& c+a\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ a+b& b+c& c+a\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ a& b& c\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ b& c& a\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ a& b& c\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ b& c& a\\ c+a& a+b& b+c\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ a& b& c\\ c& a& b\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ a& b& c\\ a& b& c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b& c& a\\ b& c& a\\ a& b& c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ a& b& c\\ c& a& b\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ a& b& c\\ a& b& c\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}c& a& b\\ b& c& a\\ a& b& c\end{array}\right| \end{gathered}$$

★★★ 2.7 性质7

行列式某一行（列）的所有元素，乘以数$k$加到另一行（列）上去，行列式的值为变。

举例：
$\left|\begin{array}{ccc}①& ②& ③\\ 1& 1& 0\\ 9& 9& 10\end{array}\right|$

将第1行乘以5加到第2行：

$\left|\begin{array}{ccc}①& ②& ③\\ 1+①\times (5)& 1+②\times (5)& 0+③\times (5)\\ 9& 9& 10\end{array}\right|$

根据性质6可知，上述行列式可以写成以下两个行列式相加：

$\left|\begin{array}{ccc}①& ②& ③\\ 1& 1& 0\\ 9& 9& 10\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}①& ②& ③\\ ①\times (5)& ②\times (5)& ③\times (5)\\ 9& 9& 10\end{array}\right|$

又根据性质5可知，上述第二个行列式第1行和第2行成比例值为零。而第一个行列式就是原来的行列式，所以原行列式的值为变。

例1：求行列式$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 3& 10& 0\\ 0& 3& 5& 18\\ 5& 10& 15& 4\end{array}\right|$的值。

思路：将行列式通过性质7化为上三角形式，主对角线元素乘积即为行列式的值。
解：第1行元素×(-2)加到第2行上去：
$$\begin{gathered} =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2+1\times (-2)& 3+2\times (-2)& 10+0\times (-2)& 0+1\times (-2)\\ 0& 3& 5& 18\\ 5& 10& 15& 4\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& -1& 10& -2\\ 0& 3& 5& 18\\ 5& 10& 15& 4\end{array}\right| \end{gathered}$$

第1行元素×(-5)加到第4行上去：
$$\begin{gathered} =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& -1& 10& -2\\ 0& 3& 5& 18\\ 5+1\times (-5)& 10+2\times (-5)& 15+0\times (-2)& 4+1\times (-5)\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& -1& 10& -2\\ 0& 3& 5& 18\\ 0& 0& 15& -1\end{array}\right| \end{gathered}$$

第2行元素×3加到第3行上去：
$$\begin{gathered} =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& -1& 10& -2\\ 0+0\times 3& 3+(-1)\times 3& 5+10\times 3& 18+(-2)\times 3\\ 0& 0& 15& -1\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& -1& 10& -2\\ 0& 0& 35& 12\\ 0& 0& 15& -1\end{array}\right| \end{gathered}$$

第4列元素×15加到第3列上去：
$$\begin{gathered} =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0+1\times 15& 1\\ 0& -1& 10+(-2)\times 15& -2\\ 0& 0& 35+12\times 15& 12\\ 0& 0& 15+(-1)\times 15& -1\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 15& 1\\ 0& -1& -20& -2\\ 0& 0& 215& 12\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right| \\ =1\times (-1)\times 215\times (-1) \\ =215 \end{gathered}$$

例2：求行列式$D=\left|\begin{array}{cccc}8& 2& 0& 1\\ 1& 3& 10& 0\\ 9& 3& 5& 18\\ 3& 10& 15& 4\end{array}\right|$的值。

分析：如果按照例1的思路，需要使用第1行依次将2、3、4行的左下角元素变为0，即：第1行元素$\times (-\frac{1}{8})$加到第2行，第1行元素$\times (-\frac{9}{8})$加到第3行，第1行元素$\times (-\frac{3}{8})$加到第4行等，但分数计算时非常复杂，而且容易出错，不推荐此类方法。此题可以先交换第1列和第2行（注意交换两行行列式要变号），再用交换后左上角的$1$去将其他行左下角元素变为0。

做题规范：
① 时统一化为上三角形式（因为下三角转置后就是上三角）；
② 先处理第1列，再第2列，依次处理第n列；
③ 第1列处理完后，第1行不再参与后续运算，后续同理；
④ 可以说：“第$m$行$\times k$加到第$n$行上去”或“第$m$行加到和$n$行上去”，不能说：“第$m$行减去第$n$行”。

3 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.2 行列式的性质