[MATLAB]常微分方程数值求解(ode45 ode15s ode23 solver)

本次讨论取材于中南大学《科学计算与matlab语言》内容为常微分方程数值解法

• 常微分方程数值求解的一般概念
• 常微分方程数值求解函数
• 刚性问题

常微分方程数值求解的一般概念

求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程：

所谓其数值解法，就是求y(t)在离散结点t0处的函数近似值y0的方法

• 单步法：在计算Yn+1时只用到前一步的Yn，因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，其代表是龙格–库塔（Runge-Kutta）法.
• 多步法：在计算Yn+1时，除了用到前一步的值Yn之外,还要用到Yn-p(p=1,2,…,k,k>0)的值，即前面的k步，其代表就是亚当斯（Adams）法。

常微分方程的求解函数

函数调用格式为：

[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)

其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解；solver为求常微分方程数值解的函数；filename是定义f(t,y)的函数名，该函数必须返回一个列向量；tspan形式为[t0,tf]，表示求解区间；y0是初始状态向量;Option是可选参数,用于设置求解属性.

常微分方程数值求解函数的统一命名格式：

odennxx

其中ode是Ordinary Differential Equation的缩写，是常微分方程的意思；nn是数字，代表所用方法的阶数；xx是字母，用于标注方法的专门特征。

>> f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);
>> [t,y]=ode23(f,[0,10],2);
>> y1=sqrt(t+1)+1;
>> plot(t,y,'b:',t,y1,'r');
>> 

例2 已知一个二阶线性系统的微分方程为：

取a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。
令x2=x,x1=x’，则得到系统的状态方程：

f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); 
subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2));
subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));

刚性问题

有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题(Stiff)
例3 假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维持这一体积不变，其原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所或氧气达到平衡。

主要观看λ值得大小，是否会真正影响问题模型！

>> lamda=0.01;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);toc
Elapsed time is 0.034000 seconds.
>> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
ode45计算的点数157
>> 

时间已过0.034000秒
ode45计算的点数157

>> lamda=1e-5;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);toc
Elapsed time is 5.690000 seconds.
>> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
ode45计算的点数120565
>> 

不同的λ值，式子所用的秒数不同，问题瞬间变成刚性，直接换用ode15s，再去计算！直接秒出答案！

>> tic;[t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);toc
Elapsed time is 0.348000 seconds.
>> disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))]);
ode15s计算的点数98
>> 

>> f=@(t,x) [-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(2)*x(1)+28*x(2)-x(3)];

>> [t,x]=ode45(f,[0,50],[0,0,10^(-10)]);

>> plot(t,x)