程序员数学 —— 二进制

前言

常年浪迹与各种高级语言的我们,是否还记得哪些基础中的基础呢?
今天就让我们一起来回忆一下计算机的那一串 0101010101 —— 二进制 吧!

通过本文,你将了解到以下几点:

  1. 什么是进制,以及 进制之间 的转换
  2. 计算机为什么要用二进制
  3. 了解位运算,以及 逻辑运算 和 算术运算的 区别

什么是进制?

十进制

  • 十进制 是以 0-9 为基础数字系统, 是在世界上应用最广泛的进位制。
    具有以下几个特点:
    1. 高位在左,地位在右

    2. 每个位上只有 0-9 十个数字

    3. 高位的 1 代表低一位的 10,即:
      第0位表示

      第一位表示 基本的

      第二位表示 基本的

  • 十进制数字 123 可以这么来表示

    其中 任何非 0 的数的 0 次方都是 1. 至于这个写法就不多解释了,相信你一看就懂....

平时生活中我们的计算基本都是基于 十进制,比如 1+2=3 ,5+6=11
有时候我们不禁也会想一下:为什么 1+2 会等于 3 呢?
那么我们可以想想,你吃了一个苹果,又吃了两个,那么你一共吃了几个?
所以,其实算术没那么多弯弯道道,都是源于真真实实的生活。

二进制

看完十进制,那么二进制其实就很好类比了.....

  • 二进制 是以 0-1 为基础数字系统,是计算机应用的进位制。
    具有以下几个特点:
    1. 高位在左,地位在右

    2. 每个位上只有 0-1 二个数字

    3. 高位的 1 代表低一位的 2,即:
      第0位表示

      第一位表示 基本的

      第二位表示 基本的

  • 二进制数字 101 可以这么来表示

    其中 任何非 0 的数的 0 次方都是 1.
    我们可以看到,101 的 十进制 就是: 5

  • 通过上面的,我们应该很容易就可以将 任意进制的数字 转换成 十进制的 数字了

关于十进制转其他进制....使用计算机其实是很好弄的,不过如果你想具体去了解怎么自己算,那么还是去自己找点资料吧,当然,也许后面我们可以来讨论下

为什么计算机要用二进制?

这里我大概列举我知道的几点

  1. 简单,二进制只有 0 和 1 两种状态,可以使得计算机的运算变的非常简单,
    并且能满足电路的一开一关。
  2. 适合位运算,针对位运算比平时的运算具有更高的效率
  3. 具有比较好的容错 和 抗干扰能力,多进制会导致状态增加,使得计算机识别状态的时候更加不容易控制。

这里肯定还有很多其他的原因,限于本人知识有限,
如果你想详细了解这块,还是自己去找找相关的资料看看比较靠谱

位运算

接下来我们就来重点说一下二进制的位运算。

  • 向左移位
    定义:用来将一个数的各二进制位全部左移若干位,其右边空出的位用0填补,高位左移溢出则舍弃该高位。

    以下是 2 向左移位 1,2,3 的结果:

    scala> 2 << 1
    res1: Int = 4
    
    scala> 2 << 2
    res2: Int = 8
    
    scala> 2 << 3
    res3: Int = 16
    

    我们可以发现:
    向左移 1 位: 4 = 2 * 2^1
    向左移 2 位: 8 = 2 * 2^2
    向左移 3 位: 16 = 2 * 2^3
    大概我们可以得出结论:向左每移动一位,那么就等于 该数 乘以 2 的(移动的位数)次方
    ,那么怎么证明呢?

    1. 2 的 二进制是 10
    2. 向左移 1 位: 那个 10 就会变成 100 ,从十进制来看,即:

      转变成了


      这样我们也就知道为什么 向左每移动一位,那么就等于 该数 乘以 2 的(移动的位数)次方 了.
  • 向右移位
    在我们看了向左移位之后,那么其实向右也就很简单了。

scala> 16 >> 1
res18: Int = 8

scala> 16 >> 2
res19: Int = 4

scala> 16 >> 3
res20: Int = 2

可以看出来,每移动一位就等于 该数 除以 2的(移动位数) 次方,当然这里结果是要求整数

然后你以为移位就是这么简单么?当然不....
不知道你是否还记得,如果一个值是负数,他是怎么表示的,如果你不记得了,
那么你至少应该记得,在有符号的数字中,二进制的第一位一般都是符号位的。
那么我可以来试试:

scala> -16 >> 3
res21: Int = -2

恩?看起来好像没有问题啊,这个不就是我们期望的么?
确实,看起来确实是我们期望的。但是如果让你现在给这个右移一个定义,那么你该怎么给呢?

如果类比向左位移,那么应该是这样:用来将一个数的各二进制位全部右移若干位,其右边空出的位用0填补,舍弃低位。

那么你是否已经发现问题呢?这个定义好像和我们认知的会有点不一样,如果用 0 填,那么应该会变成正数才对。所以其实右移并不是我们简单的想象的那样,

恩 ,不卖关子了,我们直接说吧....

右移如果是没有符号位,那就没什么好说的了,
如果有符号位,那么右移就会有点不一样,所以右移我们可以分为:

  1. 逻辑右移:
    用来将一个数的各二进制位全部右移若干位,其右边空出的位用0填补,舍弃低位。
  2. 算术右移
    用来将一个数的除符号位外的各二进制位全部右移若干位,并在符号位之后用符号位 1 填补,舍弃低位。

这样就很清楚了,所以我们可以看到 我们使用的 -16 >> 3 是属于 算术右移 的。
那么逻辑右移是怎么样的呢?

scala> -16 >>> 3
res22: Int = 536870910

所以说 逻辑右移 是>>>, 一个负数直接就被我们移成了一个正数

这里也可以考虑下为什么没有 逻辑左移,这里本人也没有找到标准答案,不过猜测应该是,
逻辑右移,在做左边是要考虑补位的是 1 还是 0,不能使符号发生转变。
而左移不需要,只需要在右边补0,不需要考虑符号转变,或者说在不溢出的情况下,其符号是不会变的。

  • 位运算
    将两个二进制数字各个位上的数字进行运算即:位运算,一般可以分为以下几种:

    • 参与操作的所有位中都必须是 1,其运算的结果才是 1,否则是 0;
      计算操作符一般是 &

      scala> 4 & 2 & 1
      res24: Int = 0
      

      其中 4 的 二进制是 : 100
      其中 2 的 二进制是 : 10
      其中 1 的 二进制是 : 1


      • 参与操作的所有位中如果有一个是 1,其运算的结果就是 1,否则是 0;
        计算操作符一般是 |
      scala> 4 | 2 | 1
      res25: Int = 7
      
      • 异或
        参与操作的所有位中不能相同,其运算的结果才是 1,否则是 0;
        计算操作符一般是 ^
      scala> 4 ^ 2 ^ 1
      res25: Int = 7
      

    这里的计算都是从左向右进行的,和平时的算术运算没什么两样噢!
    不过这里需要注意的是....在计算机的运算中,一定要考虑溢出!!!
    往往当数据溢出的时候,其产生的问题一般会非常严重,并且某些情况下不太那么容易查

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